Kvantový harmonický oscilátor

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci ${\displaystyle \Psi }$ budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce ${\displaystyle \Psi }$ v asymptotické oblasti ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$. Pro hodnoty ${\displaystyle \xi \to \pm \infty }$ lze ${\displaystyle \lambda }$ v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (\xi )}{\partial \xi ^{2}}}-\xi ^{2}\Psi (\xi )=0\,.}$

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou libovolné konstanty.

${\displaystyle \Psi (\xi )=A^{\frac {-\xi ^{2}}{2}}+B^{\frac {\xi ^{2}}{2}}\,.}$

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce ${\displaystyle \Psi }$ diverguje pro ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$ a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

${\displaystyle \Psi (\xi )\approx A^{\frac {-\xi ^{2}}{2}}\,.}$

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty ${\displaystyle \xi }$, znamená předpokládat, že ${\displaystyle A}$ na ${\displaystyle \xi }$ závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

${\displaystyle \Psi (\xi )=A(\Psi )^{-}{\frac {\xi ^{2}}{2}}\,,}$

kde ${\displaystyle A(\Psi )}$ je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu ${\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)}$ dosazením předešlé rovnice pro ${\displaystyle \Psi }$ získáme novou rovnici pro neznámou funkci ${\displaystyle A(\Psi )}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial \xi ^{2}}}-2\xi {\frac {\partial A}{\partial \xi }}+(\lambda -1)A=0\,.}$

Funkci ${\displaystyle A(\Psi )}$ budeme hledat ve tvaru mocninné řad

${\displaystyle A(\Psi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}\,.}$

Neznámé koeficienty ${\displaystyle a_{k}}$ pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro ${\displaystyle A}$ do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami ${\displaystyle \xi ^{k}}$. Po jistém úsilí získáme

${\displaystyle a_{k}={\frac {(1-\lambda )(5-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{0}\,,}$ pro k = 2, 4, 6, …

${\displaystyle a_{k}={\frac {(3-\lambda )(7-\lambda )\dots (2k-3-\lambda )}{k!}}a_{1}\,,}$ pro k = 3, 5, 7, …

Protože ${\displaystyle A}$ je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách ${\displaystyle a_{0}}$ a ${\displaystyle a_{1}}$. Ukazuje se však, že nekonečná řada ${\displaystyle A(\Psi )}$ se pro velká ${\displaystyle \lambda }$ chová jako funkce ${\displaystyle \exp \left({\frac {-\xi ^{2}}{2}}\right)}$ , což znamená, že vlnová funkce ${\displaystyle \Psi (\xi )=A(\Psi )^{-}{\frac {\xi ^{2}}{2}}}$ pro ${\displaystyle (\xi \to \pm \infty )}$ diverguje. Funkce ${\displaystyle A(\Psi )}$ proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce ${\displaystyle A(\Psi )}$ tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým ${\displaystyle k}$ platí ${\displaystyle a_{k+2}=0}$ a pro dosud libovolné ${\displaystyle \lambda }$ musí splňovat podmínku

${\displaystyle \lambda =2n+1\,,}$ pro n=0,1,2,...

S ohledem na předešlý vztah a rovnici ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x}$ dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru[1] [2]

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar \omega \lambda }{2}}=\hbar \omega {\frac {2n+1}{2}}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$