Potenciálová bariéra

V klasické mechanice je pohyb částic povolený pouze v oblasti, kde je energie ${\displaystyle E}$ částice menší než hodnota potenciálu.

Pokud se tedy částice s ${\displaystyle E<V_{0}}$ pohybuje směrem k potenciálové bariéře, potom se může pohybovat pouze mimo oblast ${\displaystyle 0<x<a}$. Do oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$ taková částice nemůže vstoupit. V klasické mechanice se tedy částice nacházející se v oblasti ${\displaystyle x<0}$ nemůže dostat do oblasti ${\displaystyle x>a}$ a naopak. Potenciálová bariéra je pro takové částice nepropustnou stěnou, která odděluje obě oblasti ${\displaystyle x<0}$ a ${\displaystyle x>a}$.

Částice s ${\displaystyle E>V_{0}}$ se může pohybovat i v oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$ a může tedy přes potenciálovou bariéru procházet. Tato klasická částice pohybující se směrem k potenciálové bariéře přes tuto bariéru vždy projde, tzn. nikdy nedojde k jejímu odrazu. K odrazu částice od bariéry dochází pouze v případě ${\displaystyle E<V_{0}}$.

V kvantové mechanice se vlastnosti částice určí řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice.

Stacionární Schrödingerovu rovnici vyjádříme zvlášť pro oblast ${\displaystyle x<0}$, oblast ${\displaystyle 0<x<a}$ a pro oblast ${\displaystyle x>a}$. V bodech ${\displaystyle x=0}$ a ${\displaystyle x=a}$ je přitom požadováno, aby vlnová funkce byla spojitá včetně své první derivace.

Schrödingerovy rovnice tedy mají tvar

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}}$

Charakter řešení se liší podle toho, zda celková energie částice ${\displaystyle E}$ je větší, anebo menší než výška potenciálové bariéry ${\displaystyle V_{0}}$. Výslednou vlnovou funkci je možné rozdělit na několik částí. Především na dopadající vlnu, která souvisí s volnou částicí pohybující se směrem k potenciálové bariéře ze záporného nekonečna (tedy v oblasti ${\displaystyle x<0}$). Dále můžeme uvažovat, že vlna se po dopadu částečně odrazí a částečně bude procházet do oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$. V této oblasti postupuje vlna dále k bodu ${\displaystyle x=a}$, kde prochází druhým potenciálovým skokem, od kterého se opět částečně odráží a částečně projde do oblasti ${\displaystyle x>a}$. V oblasti x < 0 tedy bude výsledná vlna ${\displaystyle \psi _{I}}$ popsaná superpozicí dopadající vlny pohybující se ve směru ${\displaystyle +x}$ a odražené vlny pohybující se ve směru ${\displaystyle -x}$. Podobně v oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$ je možné výslednou vlnu ${\displaystyle \psi _{II}}$ popsat jako superpozici vln z obou směrů, zatímco v oblasti ${\displaystyle x>a}$ je možné najít pouze prošlou vlnu ${\displaystyle \psi _{III}}$ pohybující se ve směru ${\displaystyle +x}$.

Když zavedeme konstanty

${\displaystyle k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$

${\displaystyle k_{II}^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$

potom je možné obecné řešení vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle \psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

${\displaystyle \psi _{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}x}}$

${\displaystyle \psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient u členu popisujícího v oblasti ${\displaystyle x>a}$ pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. ${\displaystyle G=0}$.

Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech ${\displaystyle x=0}$ a ${\displaystyle x=a}$, tzn. na základě rovností ${\displaystyle \psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)}$, ${\displaystyle \psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)}$, ${\displaystyle \psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)}$ a ${\displaystyle \psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)}$, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty ${\displaystyle A,B,C,D,F}$, tzn.

${\displaystyle A+B=C+D}$

${\displaystyle \mathrm {i} k_{I}(A-B)=\mathrm {i} k_{II}(C-D)}$

${\displaystyle C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

${\displaystyle \mathrm {i} k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

Pravděpodobnost průchodu kvantové částice skrz bariéru je možné pro ${\displaystyle E>V_{0}}$ vyjádřit vztahem

${\displaystyle T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}}$

Pravděpodobnost odrazu od bariéry se rovná

${\displaystyle R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T}$

Pro libovolně široký a vysoký potenciálový val je tato pravděpodobnost nenulová. Tato pravděpodobnost však s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií ${\displaystyle V_{-}E}$ velmi rychle klesá. Z tohoto důvodu je tedy při makroskopických procesech tento jev zanedbatelný a není potřebné ho uvažovat.

Když zavedeme konstanty

${\displaystyle k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$

${\displaystyle k_{II}^{2}={\frac {2m(V_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}}$

potom je obecné řešení možné vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle \psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

${\displaystyle \psi _{II}=C\mathrm {e} ^{-k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k_{II}x}}$

${\displaystyle \psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient členu popisujícího v oblasti ${\displaystyle x>a}$ pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. ${\displaystyle G=0}$.

Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech ${\displaystyle x=0}$ a ${\displaystyle x=a}$, tzn. na základě rovnosti ${\displaystyle \psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)}$, ${\displaystyle \psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)}$, ${\displaystyle \psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)}$ a ${\displaystyle \psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)}$, dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty ${\displaystyle A,B,C,D,F}$, tzn.

${\displaystyle A+B=C+D}$

${\displaystyle \mathrm {i} k_{I}(A-B)=-k_{II}(C-D)}$

${\displaystyle C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

${\displaystyle -k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

Pravděpodobnost průchodu částice bariérou je možné vyjádřit jako

${\displaystyle T=={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{II}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$

Částice dopadající na potenciálový val se tedy podle kvantové mechaniky nemusí vždy odrazit, ale může bariérou s určitou pravděpodobností projít. Průchod částice bariérou je čistě kvantový jev, se kterým se v klasické mechanice nesetkáme. Tento jev se označuje jako tunelový jev anebo kvantové tunelování.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Potenciálová bariéra na slovenské Wikipedii.