Reciproká rovnice

Nechť je dán reciproký polynom  ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\,,\,\,a_{n}\neq 0.}$

Pak výraz  ${\displaystyle f(x)=0}$  nazýváme

• reciproká rovnice 1. druhu jestliže  ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n}$
• reciproká rovnice 2. druhu jestliže  ${\displaystyle a_{k}=-a_{n-k}\,,\,\,k=0,1,\ldots ,n}$
• reciproká rovnice sudého stupně pro sudé n
• reciproká rovnice lichého stupně pro liché n

Příklad:

a) reciproká rovnice 1. druhu, sudého stupně:  5x⁴ − 7x³ + 3x² − 7x + 5 = 0
b) reciproká rovnice 2. druhu, lichého stupně:  6x³ − 2x² + 2x − 6 = 0

• každá rec. rovnice 2. druhu má kořen c = 1. Pokud ji vydělíme dvojčlenem (x−1), dostaneme rec. rovnici 1. druhu
• každá rec. rovnice 1. druhu, lichého stupně má kořen c = −1. Pokud ji vydělíme dvojčlenem (x+1), dostaneme rec. rovnici 1. druhu, sudého stupně
• rec. rovnici 1. druhu, sudého stupně n lze převést na algebraickou rovnici polovičního stupně dělením výrazem  ${\displaystyle x^{n/2}}$  a substitucí:

${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}$

${\displaystyle y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle y^{3}-3y=x^{3}+{\dfrac {1}{x^{3}}}}$

${\displaystyle y^{4}-4y^{2}+2=x^{4}+{\dfrac {1}{x^{4}}}}$

Z výše uvedených skutečností je zřejmé, že je-li číslo c řešením rec. rovnice, pak je také číslo 1/c jejím řešením.

Reciproké rovnice jsme schopni těmito metodami řešit do určitých stupňů:

• rovnice 2. druhu do 10. stupně,
• rovnice 1. druhu do 9. stupně.

${\displaystyle x^{5}-11x^{4}+17x^{3}+17x^{2}-11x+1=0}$ … rovnice 1. druhu, lichého stupně – kořen  ${\displaystyle x_{1}=-1}$.

Vydělením rovnice dvojčlenem (x+1) dostaneme rovnici

${\displaystyle x^{4}-12x^{3}+29x^{2}-12x+1=0}$ … rovnice 1. druhu, sudého stupně – řešení substitucí

${\displaystyle x^{4}-12x^{3}+29x^{2}-12x+1=0\quad /{\dfrac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle x^{2}-12x+29-12{\dfrac {1}{x}}+{\dfrac {1}{x^{2}}}=0}$

${\displaystyle (x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}})-12(x+{\dfrac {1}{x}})+29=0\qquad |}$  substituce    ${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}\qquad y^{2}-2=x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle y^{2}-2-12y+29=0\qquad }$ … řešení této kvadratické rovnice jsou  ${\displaystyle y_{1}=9,\,y_{2}=3}$

Zpětné dosazení

• y₁ = 9

9 = x + 1/x

x² − 9x + 1 = 0

${\displaystyle x_{2,3}={\dfrac {9\pm {\sqrt {77}}}{2}}}$

• y₂ = 3

3 = x + 1/x

x² − 3x + 1 = 0

${\displaystyle x_{4,5}={\dfrac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$

Zadaná rovnice má pět kořenů:  ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{5}.}$

• Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. ISBN 80-7067-281-1
• Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc.
• Bican L. (2004). Lineární algebra a geometrie. Academia Praha.