Binomická rovnice
Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
Řešení binomické rovnice
Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
Úhel
komplexní číslo
s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé
Porovnáním úhlů a odvozením řešení je
Diskuse
V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu . Pokud je číslo kladné reálné, poté uvažujeme úhel . Naopak, když je reálné záporné, uvažujeme úhel . Pokud uvažujeme, že má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
Řešení
Binomická rovnice má celkem
řešení. Při jejich hledání se za koeficient
dosazují postupně hodnoty množiny
. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného
-úhelníka. (Vrcholy takovného
-úhelníka pro rovnici
leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto
-úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě
, čili jedno z řešení je vždy
.) Samotné řešení je
1. možnost
2. možnost
3. možnost neurčitého
a komplexního