Binomická rovnice

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru

Úhel komplexní číslo s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je


Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu . Pokud je číslo kladné reálné, poté uvažujeme úhel . Naopak, když je reálné záporné, uvažujeme úhel . Pokud uvažujeme, že má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem řešení. Při jejich hledání se za koeficient dosazují postupně hodnoty množiny . Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného -úhelníka. (Vrcholy takovného -úhelníka pro rovnici leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto -úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě , čili jedno z řešení je vždy .) Samotné řešení je

1. možnost

2. možnost

3. možnost neurčitého a komplexního

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.