Riemannova hypotéza

Riemannova hypotéza je domněnka o rozložení kořenů Riemannovy funkce zeta definované v celé komplexní rovině kromě bodu 1. Tato funkce má některé ze svých kořenů, triviální nulové body, v sudých záporných celých číslech. Kromě těchto kořenů existují ještě další, které se nazývají netriviální nulové body. Riemannova hypotéza je tvrzení:

Všechny netriviální nulové body Riemannovy zeta-funkce mají reálnou část rovnu 1/2.

Čísla, jejichž reálná část je rovna 1/2, tvoří v komplexní rovině přímku, která se nazývá kritická přímka.

Nejsilnějšími známými částečnými řešeními Riemannovy hypotézy jsou různé verze věty o kritické přímce, které říkají, že na kritické přímce se vyskytuje „hodně“ netriviálních nulových bodů.

V roce 1900 byla s matematickou jistotou známa následující fakta o umístění netriviálních nulových bodů v komplexní rovině:

• Je jich nekonečně mnoho a všechny mají reálnou část mezi 0 a 1, přičemž krajní body vylučujeme.

Použijeme-li komplexní rovinu ke znázornění této situace, můžeme říci, že víme, že všechny netriviální nulové body leží v kritickém pásu. Riemannova hypotéza je však daleko silnější tvrzení - totiž že všechny leží na kritické přímce.

• Nulové body se objevují v komplexně sdružených dvojicích.

Jinými slovy, je-li ${\displaystyle z}$ nulový bod, je i ${\displaystyle {\overline {z}}}$ nulový bod.

• Jejich reálné části jsou symetrické podle kritické přímky.

Tedy jestliže existuje nějaký nulový bod mimo kritickou přímku, pak jeho zrcadlový obraz podle kritické přímky je také nulovým bodem.