Úplný svaz
Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima). Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.
Definice
Množinu uspořádanou relací nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
Příklady a vlastnosti
Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).
Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.
Úplný svaz potenční algebry
Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy potenční množina a je nějakou množinou podmnožin
Svazy, které nejsou úplné
Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny ).
Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.
Zúplnění svazu reálných čísel
O reálných číslech víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.
Uvažujme o množině, která vznikne z jejich rozšířením o dva prvky: je větší, než všechny čísla z a je menší, než všechna čísla z . (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že ).
Získali jsme množinu , která již je úplný svaz:
- omezené množiny z mají supremum a infimum v
- zdola neomezená množina z má infimum
- shora neomezená množina z má supremum
- množina obsahující má infimum
- množina obsahující má supremum