Inverzní zobrazení

Je-li ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ zobrazení, neboli ${\displaystyle f=\left\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B\right\rbrace }$, pak inverzní zobrazení je ${\displaystyle f^{-1}:B\rightarrow A}$ takové, že ${\displaystyle f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b}$ nebo také ${\displaystyle (b,a)\in f^{-1}\Leftrightarrow (a,b)\in f}$ (zde ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle f^{-1}}$ jsou ve smyslu relace). Z toho vyplývá, že zobrazení f musí být prosté, tzn. různým prvkům ${\displaystyle a,a'}$ musí přiřazovat různé prvky ${\displaystyle b,b'}$ - jinak by nebylo jednoznačně určeno, na co se má zobrazit prvek b v inverzním zobrazení.

Inverzní zobrazení je:

• prosté
• surjektivní („na“)
• ${\displaystyle f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x}$

Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení lze nalézt zobrazení inverzní. Jestliže k nějakému zobrazení f existuje inverzní zobrazení, říkáme, že f je invertibilní nebo že vykazuje invertibilitu.

Mějme funkci ${\displaystyle y=f(x)}$ s definičním oborem ${\displaystyle D}$ s oborem hodnot ${\displaystyle V}$. Inverzní funkcí k funkci ${\displaystyle f}$ nazveme funkci ${\displaystyle x=g(y)}$ s definičním oborem ${\displaystyle V}$, která každému ${\displaystyle y\in V}$ přiřadí právě to ${\displaystyle x\in D}$, pro které platí ${\displaystyle y=f(x)}$. Inverzní funkce k funkce ${\displaystyle f}$ bývá také zapisována jako ${\displaystyle f^{-1}}$.

Je-li f prostá funkce, pak k ní lze nalézt inverzní funkci. V takovém případě je graf inverzní funkce k f osově souměrný s grafem f podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce ${\displaystyle f(x)=x}$ je inverzní sama k sobě.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu inverzní zobrazení na Wikimedia Commons