Podílové pravidlo

Důkaz pomocí implicitní derivace:

Z ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$ plyne ${\displaystyle g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,}$

Podle součinového pravidla ${\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,}$

odtud dostaneme ${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)\cdot {\frac {h(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}}$

tedy ${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}}$

Důkaz pomocí řetízkového pravidla:

Vztah ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$ přepíšeme použitím záporného mocnitele:

${\displaystyle f(x)=g(x)\cdot h(x)^{-1}}$

Obě strany zderivujeme a na pravou stranu použijeme součinové pravidlo: ${\displaystyle f'(x)=g'(x)\cdot h(x)^{-1}+g(x)\cdot (h(x)^{-1})'}$

Pro výpočet derivace druhého členu použijeme řetízkové pravidlo, přičemž vnější funkce je ${\displaystyle x^{-1}}$ a vnitřní ${\displaystyle h(x)}$.

${\displaystyle f'(x)=g'(x)\cdot h(x)^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x)^{-2}h'(x)}$

Převedeme na společného dělitele: ${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

Pro výpočet derivací vyšších řádů je mnohem snazší použít řetízkové pravidlo než implicitní derivaci. Výsledkem dvou implicitních derivací funkce ${\displaystyle fh=g}$ je ${\displaystyle f''h+2f'h'+fh''=g''}$ a řešením pro ${\displaystyle f''}$ je

${\displaystyle f''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}.}$