Prvoideál (teorie uspořádání)

Je-li ${\displaystyle X\,\!}$ množina a ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$ její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!}$ je prvoideál, pokud platí:

1. ${\displaystyle I\,\!}$ neobsahuje celou množinu ${\displaystyle X\,\!}$
2. ${\displaystyle A,B\in I\implies A\cup B\in I\,\!}$
3. ${\displaystyle (A\in I\land B\subseteq A)\implies B\in I\,\!}$
4. ${\displaystyle (\forall A\in \mathbb {P} (X))(A\in I\vee X-A\in I)\,\!}$

Podle bodu 2 je prvoideál nahoru usměrněná množina, podle bodu 3 je to dolní množina - jedná se tedy o ideál v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je prvoideál neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní ideál - prvoideál tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$

Podle bodu 4 je v prvoideálu obsažena podmnožina ${\displaystyle A\subseteq X\,\!}$ nebo její doplněk ${\displaystyle (X-A)\subseteq X\,\!}$. Pokud by pro některou množinu ${\displaystyle A\subseteq X\,\!}$ obsahoval prvoideál tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i ${\displaystyle A\cup (X-A)=X\,\!}$ , a podle bodu 1 by se již nejednalo o prvoideál. Prvoideál tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že prvoideál je mezi ostatními vlastními ideály na potenční množině v jistém smyslu maximální - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude prvoideál, výsledkem již dokonce nebude ani ideál.

• Ideál
• Ultrafiltr
• Fréchetův ideál
• Uniformní filtr