Galoisova grupa

Nechť ${\displaystyle E}$ je rozšíření tělesa ${\displaystyle F}$ (zapisuje se jako ${\displaystyle E/F}$). Automorfizmus ${\displaystyle E/F}$ je takový automorfizmus ${\displaystyle \alpha }$ tělesa ${\displaystyle E}$, který zachovává všechny prvky ${\displaystyle F}$, t.j. ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ pro každé ${\displaystyle x\in F}$. Množina všech automorfizmů ${\displaystyle E/F}$ spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se ${\displaystyle Gal(E/F)}$, anebo ${\displaystyle Aut(E/F)}$.

• ${\displaystyle Gal(\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$ obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
• Nechť ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ je těleso racionálních čísel a ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\,\,a,b\in \mathbb {Q} \}}$. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$ obsahuje identitu a zobrazení ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}}$.
• Nechť ${\displaystyle p}$ je prvočíslo a ${\displaystyle E=GF(p^{n})}$ je Galoisovo těleso o ${\displaystyle p^{n}}$ prvcích, ${\displaystyle F\simeq GF(p)}$ jeho nejmenší podtěleso. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$ je cyklická grupa řádu ${\displaystyle p}$.
• Nechť ${\displaystyle p}$ je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle E}$ jeho rozkladové těleso a nechť ${\displaystyle p}$ má v ${\displaystyle E}$ právě dva nereálné kořeny. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$ (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu ${\displaystyle p}$) je izomorfní symetrické grupě ${\displaystyle S_{n}}$. Její prvky permutují kořeny polynomu ${\displaystyle p}$.

Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům ${\displaystyle F\subseteq X\subseteq E}$.[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě ${\displaystyle H}$ podtěleso ${\displaystyle E}$, které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření ${\displaystyle E/F}$ uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odečítávání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.