Symetrická grupa

Symetrická grupa n-prvkové množiny ${\displaystyle S_{n}}$ má n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa ${\displaystyle S_{n}}$ je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu ${\displaystyle A_{n}}$ všech sudých permutací, která je jednoduchá pro ${\displaystyle n\geq 5}$.

Počet konjugačních tříd ${\displaystyle S_{n}}$ je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy ${\displaystyle Gl(n,\mathbb {C} )}$.

Symetrická grupa ${\displaystyle S_{n}}$ nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou ${\displaystyle n=6}$. Grupa ${\displaystyle S_{6}}$ má grupu vnějších automorfizmů ${\displaystyle Out(S_{6})\simeq \mathbb {Z} _{2}}$.

Symetrická grupa ${\displaystyle S_{3}}$ je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa ${\displaystyle D_{3}}$. Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

• Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001