Exponenciální rovnice

V případě, že máme na obou stranách stejné základy mocniny (mocněnce), jde o nejjednodušší způsob řešení exponenciální rovnice.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

1. ${\displaystyle 2^{3-x}=4^{2-x}}$
2. Základ 4 se dá napsat jako ${\displaystyle 2^{2}}$
   ${\displaystyle 2^{3-x}=2^{2(2-x)}}$
3. Nyní máme stejné základy na obou stranách rovnice, takže to lze napsat následovně:
   ${\displaystyle 3-x=2(2-x)}$
4. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   ${\displaystyle 3-x=4-2x}$
5. ${\displaystyle -x+2x=4-3}$
6. ${\displaystyle x=1}$
   Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí stejného základu.

V případě, že nemáme mít na obou stranách stejné základy, se rovnice řeší zlogaritmováním.

Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:

1. ${\displaystyle 2^{3-x}=4^{2-x}}$
2. Zlogaritmujeme rovnici:
   ${\displaystyle \log 2^{3-x}=\log 4^{2-x}}$
3. Využijeme větu o logaritmech – přesuneme exponenty před logaritmus:
   ${\displaystyle (3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4}$
4. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   ${\displaystyle 3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4}$
5. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   ${\displaystyle -x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}$
6. Vytkneme x:
   ${\displaystyle x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}$
7. Připravíme si rovnici k vyřešení a dopočítáme:
   ${\displaystyle x={\frac {2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}{-\log 2+\log 4}}={\frac {\log 4^{2}-\log 2^{3}}{-\log 2+\log 4}}={\frac {\log 16-\log 8}{-\log 2+\log 4}}}$
8. Řešení rovnice je:
   ${\displaystyle x=1}$
   Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí logaritmu.

Řešit exponenciální rovnici lze také pomocí substituce.

Příklad postupu řešení:

1. ${\displaystyle 2^{2x}+2^{x}-6=0}$
2. Zavedeme substituci ${\displaystyle a=2^{x}}$:
   ${\displaystyle a^{2}+a-6=0}$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   ${\displaystyle a_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}}$
   
   ${\displaystyle a_{1}={\frac {-1+5}{2}}={\frac {4}{2}}=2}$
   
   ${\displaystyle a_{2}={\frac {-1-5}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3}$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. ${\displaystyle 2=2^{x}}$
   2. ${\displaystyle -3=2^{x}}$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\displaystyle 2=2^{x}}$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo ${\displaystyle 2}$ se dá napsat jako ${\displaystyle 2^{1}}$:
         ${\displaystyle 2^{1}=2^{x}}$
      2. ${\displaystyle 1=x}$
      3. Výsledek je:
         ${\displaystyle x=1}$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. ${\displaystyle -3=2^{x}}$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.