Kvartická rovnice

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\,}$

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 16. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu zde uvedeme.

Řešení spočívá v následujícím postupu:

1. Máme kvartickou rovnici

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

Vydělíme-li rovnici koeficientem ${\displaystyle a}$ kvartického členu ${\displaystyle x^{4}}$, tím získáme rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:

${\displaystyle x^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0}$

2. Použijeme substituci

${\displaystyle x=y-{\frac {B}{4}}\,}$

Tím dostaneme jinou rovnici s novou neznámou ${\displaystyle y}$. Mezi neznámými ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou ${\displaystyle y}$, pak dokážeme najít i neznámou ${\displaystyle x}$. Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:

${\displaystyle y^{4}+Py^{2}+Qy+R=0\qquad \qquad (1)}$

3. Rozložíme čtyřčlen ${\displaystyle y^{4}+Py^{2}+Qy+R=0}$ na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů ${\displaystyle y^{2}}$ budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako ${\displaystyle K}$,${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$. Má tedy platit, že:

${\displaystyle y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)}$,

a tedy z předchozího kroku plyne: ${\displaystyle (y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)=0}$

Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):

${\displaystyle K+M=0}$ (tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu ${\displaystyle y^{3}}$musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čtyřčlen)

${\displaystyle KM+L+N=P}$

${\displaystyle KN+LM=Q}$

${\displaystyle LN=R}$

4. Všimneme si, že vztah ${\displaystyle K+M=0}$ lze snadno přetvořit na ${\displaystyle -K=M}$, čehož využijeme a dosadíme výraz ${\displaystyle -K}$ do trojčlenu ${\displaystyle y^{2}+My+N}$ namísto ${\displaystyle M}$, čímž získáme rovnost

${\displaystyle y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)}$

5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:

${\displaystyle L+N-K^{2}=P}$

${\displaystyle KN-KL=Q}$

${\displaystyle LN=R}$

První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:

${\displaystyle L+N=P+K^{2}}$

${\displaystyle L-N=-{\frac {Q}{K}}\,}$

6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů ${\displaystyle L}$,${\displaystyle N}$. Podařilo se mi vyjádřit jejich součet ${\displaystyle L+N}$, jejich rozdíl ${\displaystyle L-N}$ a jejich součin ${\displaystyle LN}$. O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:

${\displaystyle (A+B)^{2}-(A-B)^{2}=4AB}$

Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy ${\displaystyle L}$,${\displaystyle N}$:

${\displaystyle (L+N)^{2}-(L-N)^{2}=4LN}$

Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot ${\displaystyle L}$,${\displaystyle N}$ ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.

${\displaystyle (P+K^{2})^{2}-(-{\frac {Q}{K}}\,)^{2}=4R}$

7. Uvědomíme si, že hodnoty ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$ jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou ${\displaystyle K}$. Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:

${\displaystyle K^{6}+2PK^{4}+K^{2}(P^{2}-4R)-Q^{2}=0}$

8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé ${\displaystyle K}$. Proto položíme substituci ${\displaystyle S=K^{2}}$. Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.

9. Zjistili jsme neznámou ${\displaystyle S}$ a tedy i ${\displaystyle K}$. Po dosazení číselné hodnoty ${\displaystyle K}$ do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle N}$. Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.

10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:

${\displaystyle (y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)=0}$.

Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny ${\displaystyle y_{1,2}}$ získáme vyřešením kvadratické rovnice ${\displaystyle y^{2}+Ky+L=0}$, zatímco kořeny ${\displaystyle y_{3,4}}$ vyřešením kvadratické rovnice ${\displaystyle y^{2}-Ky+N=0}$.

11. Známe-li kořeny ${\displaystyle y_{1,2,3,4}}$, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice ${\displaystyle x_{1,2,3,4}}$.

Poznámka – Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ale jeho zápis by byl poměrně komplikovaný a nepraktický, proto ho zde neuvádíme. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici ${\displaystyle x^{4}+6x^{3}-x-6=0}$ lze snadno rozložit na ${\displaystyle (x+6)(x^{3}-1)=0}$, popř. ještě dál na: ${\displaystyle (x+6)(x-1)(x^{2}+x+1)=0}$, a tak uhodnout z hlavy kořeny ${\displaystyle x_{1}=-6}$, ${\displaystyle x_{2}=1}$.

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

• 
  první ze čtyř řešení kvartické rovnice
• 
  druhé ze čtyř řešení kvartické rovnice
• 
  třetí ze čtyř řešení kvartické rovnice
• 
  čtvrté ze čtyř řešení kvartické rovnice

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

• Trinomická rovnice
• Kvintická rovnice

• Quartic Equation (anglicky)