Délka křivky

Parametrizace v rovině nebo v prostoru je dána dvěma nebo třemi souřadnicovými funkcemi:

${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$ nebo ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t),z(t))}$ pro ${\displaystyle a\leq t\leq b}$ .

Pro parametrizace, které jsou po částech spojitě diferencovatelné, je délka definována integrálem po celém rozpětí parametru:

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$ nebo ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

Rovinná křivka parametrizovaná jako ${\displaystyle {\begin{matrix}f(t)=(x(t),y(t))\end{matrix}}}$ se dá aproximovat krátkými úsečkami ${\displaystyle \Delta s}$, který jsou určeny dvěma složkami ${\displaystyle \Delta x}$ a ${\displaystyle \Delta y}$ rovnoběžnými s osami souřadnic. Podle Pythagorovy věty je ${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$, jak bylo popsáno výše. Celková délka křivky je přibližně rovna součtu všech přímek:

${\displaystyle L=\sum \Delta s=\sum {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum {\sqrt {\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta y}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t}$

Pokud předpokládáme konvergenci výrazu pro ${\displaystyle \Delta t}$ jdoucí k nule, pak je délka ${\displaystyle L}$ součet všech infinitesimálně malých přímek, takže:

${\displaystyle L=\int \mathrm {d} s=\int {\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,\mathrm {d} t}$ .

Fyzikálně (kinematicky) lze integrand také chápat jako příspěvek okamžité rychlosti tělesa pohybujícího se po zkoumané dráze a integrační proměnnou jako čas. To je asi nejsrozumitelnější motivace této definice délky parametrizace.

Kruh s poloměrem ${\displaystyle r}$

${\displaystyle t\mapsto (r\cdot \cos t,\ r\cdot \sin t)}$ pro ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$

má délku

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\ \mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} t=2\pi r.}$

Při úpravě integrandu se využilo to, že součet čtverců sinu a kosinu stejného argumentu je roven jedné.

Úsek šroubovice s poloměrem ${\displaystyle r}$ a výškou závitu ${\displaystyle h}$

${\displaystyle t\mapsto \left(r\cdot \cos t,\ r\cdot \sin t,\ {\tfrac {h}{2\pi }}\cdot t\right)\quad {\text{pro}}\;0\leq t\leq 2\pi }$

má délku

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&={\sqrt {(2\pi r)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

Mějme funkcí ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ spojitě diferencovatelnou na ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$; délka ${\displaystyle L}$ grafu této funkce mezi body ${\displaystyle (a|f(a))}$ a ${\displaystyle (b|f(b))}$ se vypočítá:

${\displaystyle L(a,b)=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;\mathrm {d} x\qquad (*)}$

protože můžeme použít parametrizaci ${\displaystyle x\mapsto (x,\ f(x))}$ pro ${\displaystyle a\leq x\leq b}$.

Příklad: Obvod kruhu lze určit pomocí ${\displaystyle {\begin{matrix}(*)\end{matrix}}}$ takto: Kružnice s poloměrem ${\displaystyle r}$ splňuje rovnici ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ neboli ${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$ Derivace je: ${\displaystyle f'(x)={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}}$ .

Použitím vzorce ${\displaystyle {\begin{matrix}(*)\end{matrix}}}$ máme:

${\displaystyle L=2\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x=2r\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,=2r\arcsin(1)-2r\arcsin(-1)=2\pi r}$

Mějme rovinnou křivku v polárních souřadnicích ${\displaystyle r(\varphi )}$, tedy

${\displaystyle \varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )}$ pro ${\displaystyle \varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$ ,

přičemž podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }$

a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }$ ,

takže

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}$ .

Délka křivky parametrizované v polárních souřadnicích je proto

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi }$ .

Je-li obecně ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}$ po částech diferencovatelná křivka v Riemannově prostoru, lze její délku ${\displaystyle \gamma }$ definovat jako

${\displaystyle L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|\,\mathrm {d} t.}$

Buď ${\displaystyle (X,d)}$ metrický prostor a ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$ parametrizace v ${\displaystyle X}$. Pak se ${\displaystyle \gamma }$ nazývá rektifikovatelná, pokud je supremum

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=0}^{k-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))\right|k\in \mathbb {N} ,0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}=1\right\}}$

konečné. V tomto případě se ${\displaystyle L(\gamma )}$ říká délka parametrizace ${\displaystyle \gamma }$.

Délka rektifikovatelné parametrizované křivky je proto supremem délek všech aproximací této křivky pomocí lineárních segmentů. U výše popsaných diferencovatelných parametrizací se obě definice délky shodují.

Existují spojité křivky, které nelze rektifikovat, například Kochova křivka nebo jiné fraktály, křivky vyplňující prostor a skoro jistě realizace Wienerova procesu. Takovým křivkám se také říká křivky nekonečné délky.

Slovo rektifikovat znamená narovnat, to znamená vzít křivku (vlákno) na koncích, roztáhnout je od sebe a natáhnout ji tak, abychom dostali úsečku, jejíž délku můžete měřit přímo.[1]

K parametrizaci ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$ náležející obraz (množina všech bodů, na které se parametr promítne) ${\displaystyle \Gamma =\gamma ([a,b])\,}$ se nazývá křivka (také stopa parametrizace ${\displaystyle \gamma \,}$). Naopak ${\displaystyle \gamma \,}$ se nazývá nebo parametrizace křivky ${\displaystyle \Gamma \,}$. Dvě různé parametrizace mohou definovat stejnou křivku a naopak danou křivku lze parametrizovat prostřednictvím různých parametrizací. Je logické definovat délku křivky jako délku přidružené parametrizace; ale to předpokládá, že pro každou parametrizaci dostaneme stejnou hodnotu. To je intuitivně jasné a ve skutečnosti to může být ukázáno pro injektivní (prostou) parametrizaci. Konkrétně platí:

Buďte ${\displaystyle \gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {R} ^{n}}$ dvě injektivní parametrizace stejné křivky ${\displaystyle \Gamma \,}$, tj. ${\displaystyle \gamma _{1}([a_{1},b_{1}])=\gamma _{2}([a_{2},b_{2}])=\Gamma \,}$ . Pak ${\displaystyle L\left(\gamma _{1}\right)=L\left(\gamma _{2}\right)=L\left(\Gamma \right)}$.

Jak již bylo řečeno, pro křivku existují různé parametrizace. Speciální parametrizací je parametrizace podle délky oblouku (nebo délky dráhy - obloukem se myslí parametrizace, která měří délku vykonané dráhy), označovaná také jako přirozená parametrizace křivky.

Nechť je ${\displaystyle \Gamma }$ rektifikovatelná křivka s parametrizací

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma$ :&[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&\tau &\mapsto &\gamma (\tau )\end{matrix}}}

a ${\displaystyle \Gamma _{t}}$ pro ${\displaystyle t\in [a,b]}$ její úsek s parametrizací ${\displaystyle \gamma |[a,t]}$, tak se funkce

${\displaystyle {\begin{matrix}s:&[a,b]&\to &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}}$

nazývá oblouk křivky ${\displaystyle \Gamma }$ . Tato funkce ${\displaystyle s(t)}$ spojitě a monotónně roste, pro ${\displaystyle \gamma }$ prosté je dokonce ostře monotónně rostoucí, a proto také bijektivní, takže existuje inverzní funkce ${\displaystyle t(s)}$. Funkce

${\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {\gamma }}:&[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}}$

se označuje jako parametrizace ${\displaystyle \gamma }$ délkou oblouku.

Je-li ${\displaystyle \gamma }$ spojitě diferencovatelná a ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(\tau )\neq 0}$ pro všechna ${\displaystyle \tau \in [a,b]}$, zvláštností parametrizace délkou oblouku to, že také ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ je spojitě diferencovatelná a pro každé ${\displaystyle s\in [0,L(\Gamma )]}$ je

${\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1.}$

Parametrizaci délkou oblouku tedy můžeme chápat jako tu parametrizaci, při které se daná křivka vykresluje konstantní jednotkovou rychlostí.