Banachova věta o pevném bodě

Nechť ${\displaystyle (P,d)\,}$ je neprázdný úplný metrický prostor a ${\displaystyle A:P\to P}$ je kontrakce na ${\displaystyle P\,}$. Pak existuje právě jeden prvek ${\displaystyle x\in P}$ takový, že ${\displaystyle Ax=x\,}$.

${\displaystyle A\,}$ je kontrakce, existuje tedy ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$ takové, že pro všechny ${\displaystyle x,y\in P}$ platí

${\displaystyle d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)}$.

Zvolme libovolně ${\displaystyle x_{0}\in P}$. Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ jako ${\displaystyle x_{n}=Ax_{n-1}\,}$. Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;\forall m,n\geq n_{0}\;:d(x_{m},x_{n})<\varepsilon }$

Pro dané ${\displaystyle \varepsilon \,}$, ${\displaystyle m\,}$ a ${\displaystyle n\,}$ (bez újmy na obecnosti volíme ${\displaystyle n\leq m}$) hledáme ${\displaystyle n_{0}(\varepsilon )}$. Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\cdots +d(x_{m-1},x_{m})\leq }$

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením ${\displaystyle m-n\,}$ členů geometrické posloupnosti

${\displaystyle \leq d(x_{n},x_{n+1})+\alpha d(x_{n},x_{n+1})+\cdots +\alpha ^{m-n-1}d(x_{n},x_{n+1})=(1+\alpha +\cdots +\alpha ^{m-n-1})d(x_{n},x_{n+1})=}$

${\displaystyle ={\frac {1-\alpha ^{m-n}}{1-\alpha }}\alpha ^{n}d(x_{0},x_{1})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})}$

Limita posledního výrazu pro ${\displaystyle n\to \infty }$ je nula, pro každé ${\displaystyle \varepsilon }$ tedy existuje ${\displaystyle n_{0}\,}$, že

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}d(x_{0},x_{1})<\varepsilon }$

a posloupnost ${\displaystyle x_{n}\,}$ je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor ${\displaystyle (P,d)\,}$ úplný, Cauchyovská posloupnost ${\displaystyle x_{n}\,}$ konverguje k nějakému ${\displaystyle x\in P}$.

${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }Ax_{n-1}=}$

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce ${\displaystyle A\,}$ je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

${\displaystyle =A\lim _{n\to \infty }x_{n-1}=Ax}$

${\displaystyle x\,}$ je tedy pevným bodem zobrazení ${\displaystyle A\,}$.

Zbývá ukázat, že ${\displaystyle x\,}$ je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body ${\displaystyle x,y\in P}$ a ${\displaystyle x\neq y}$.

${\displaystyle d(x,y)=d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)}$

protože ${\displaystyle d(x,y)\,}$ je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

${\displaystyle 1\leq \alpha }$,

což je spor, protože ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$.