Burali-Fortiho paradox

Podle definice je ordinální číslo každá množina, která je ostře dobře uspořádána relací "býti prvkem" a navíc každý její prvek je zároveň její podmnožinou.
Uvažujme nyní na chvilku o množině ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$, která obsahuje všechna ordinální čísla. Taková množina je určitě ostře dobře uspořádaná relací ${\displaystyle \in }$ a navíc každý svůj prvek – ordinální číslo – obsahuje určitě i jako podmnožinu. To ovšem znamená, že ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ je sama také ordinální číslo, které je větší než všechna ordinální čísla a tedy i než ona sama. To je ale samozřejmě nesmysl.

V době publikování byl Burali-Fortiho výsledek často zlehčován s tím, že se jedná o „příliš velkou“ množinu – na „rozumných“ množinách k něčemu podobnému docházet nemůže. Proto se také vžilo označení paradox, ačkoliv ve skutečnosti se jednalo o spor v klasické definici množiny jako „souboru objektů (prvků) vymezených pomocí operace náležení“.

Teprve později, společně s dalšími „paradoxy“, z nichž jako nejdůležitější se ukázal Russellův paradox, vedl tento výsledek ke kompletnímu přepracování základů teorie množin na axiomatickém základě – viz Zermelova–Fraenkelova teorie množin.

V axiomatické teorii množin se mi již žádným způsobem nepodaří zkonstruovat výše uvedenou množinu ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ – Burali-Fortiho výsledek je vlastně důkazem toho, že ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ není množina, ale vlastní třída.

• Teorie množin
• Ordinální číslo
• Russellova antinomie
• Cantorův paradox