Zrýchlenie

Pri všeobecnom pohybe môže mať zrýchlenie ľubovoľnú veľkosť, ale aj ľubovoľný, v čase premenlivý smer. Pri výpočtoch alebo analýze takéhoto pohybu je vhodné rozložiť zrýchlenie na lineárne nezávislé zložky a ďalej pracovať s nimi. V prípade zrýchlenia je vhodný rozklad na tangenciálne zrýchlenie a normálové zrýchlenie.

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}\,\!}$

kde

• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ - celkové zrýchlenie
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$ - normálové zrýchlenie
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{t}}$ - tangenciálne zrýchlenie

Ak je rýchlosť telesa konštantná (čo sa veľkosti i smeru týka), zrýchlenie telesa je nulové. Zrýchlenie telesa pri voľnom páde má smer nadol a veľkosť 9,81 m/s² (túto hodnotu označujeme g). Voľný pád je iba jedným príkladom na tzv. rovnomerne zrýchlený pohyb, teda pohyb pri ktorom je zrýchlenie telesa konštanté. Vtedy platí medzi časom a polohou telesa vzťah (napíšeme iba x-ovú súradnicu, y-ová a z-ová majú rovnaký tvar)

${\displaystyle x(t)=x(0)+v(0)t+{\frac {1}{2}}at^{2},}$

kde x(0) je poloha telesa v čase t=0 a v(0) je rýchlosť telesa v tomto čase. Podobne pre x-ovú zložku rýchlosti telesa v čase t platí

${\displaystyle v(t)=v(0)+at._{}^{}}$

Najjednoduchší vzorec pre výpočet zrýchlenia (ak poznáme začiatočnú aj konečnú rýchlosť a čas za ktorý bola táto zmena rýchlostí dosiahnutá) je:

${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$

Podľa Newtonovho zákona má teleso konštantné zrýchlenie vtedy ak naňho pôsobí sila stálej veľkosti a smeru. Táto ideálna situácia a v praxi nastáva iba s určitými obmedzeniami. Napríklad pri spomínanom voľnom páde časom teleso dosiahne veľkú rýchlosť a vplyv odporovej sily prestane byť zanedbateľný. To sa prejaví tak, že zrýchlenie telesa sa bude postupne spomaľovať až nakoniec klesne na nulu. Rýchlosť telesa vtedy dosiahne svoju maximálnu hodnotu, ktorá je daná rovnováhou medzi gravitačnou silou a odporovou silou vzduchu.

Ak by odporová sila nebola vôbec prítomná (napr. v medzihviezdnom priestore), ako obmedzenie predstavy o rovnomerne zrýchlenom pohybe vtedy vystúpi špeciálna teória relativity (pozri nižšie), podľa ktorej žiadne teleso nemôže prekonať rýchlosť svetla.

Schéma veličín pri pohybe po kružnici

Pri pohybe po kružnici sa veľkosť rýchlosti telesa nemení, no mení sa jej smer. Aj vtedy je zrýchlenie nenulové a má veľkosť ${\displaystyle a=v^{2}/r}$ alebo tiež ${\displaystyle a=\omega ^{2}r}$ (v je rýchlosť telesa, r polomer jeho kruhovej dráhy, ${\displaystyle \omega }$ je uhlová rýchlosť telesa). Pri pohybe po kružnici má zrýchlenie konštantnú veľkosť a vždy smeruje do stredu kružnice. Viac o ňom hovorí článok dostredivá sila.

Rovnako ako rýchlosť je aj zrýchlenie vektorová veličina: ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$. Priemerné zrýchlenie počas intervalu ${\displaystyle t}$ až ${\displaystyle t+\Delta t}$ je dané vzťahom

${\displaystyle {\vec {a}}_{P}={\frac {{\vec {v}}(t+\Delta t)-{\vec {v}}(t)}{\Delta t}}.}$

Ak chceme poznať okamžité zrýchlenie telesa, prechodom k "nekonečne krátkemu" časovému intervalu vstupuje do vzťahu derivácia a dostávame

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.}$

Keďže rýchlosť telesa je možné vyjadriť ako deriváciu polohy (resp. polohového vektora) podľa času, spojením tohto zápisu so vzťahom pre zrýchlenie dostávame

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

Teda zrýchlenie je druhá derivácia polohy podľa času.

Ak je pôsobiaca sila konštantná, podľa Newtonovho zákona ${\displaystyle F=ma}$ to má za následok konštantné zrýchlenie a neobmedzený nárast rýchlosti. V skutočnosti je však Newtonov zákon správne formulovaný ako

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}.}$

Zjednodušený zápis ${\displaystyle F=ma}$ využíva dosadenie vzťahu pre hybnosť ${\displaystyle p=mv}$ a predpoklad, že hmotnosť m je konštantná. Tento predpoklad zjavne nie je splnený napríklad v prípade raketového pohonu, kedy hmotnosť rakety klesá kvôli úniku spálených plynov (tie vlastne raketu poháňajú). Podľa teórie relativity však nie je hmotnosť konštantná ani pri dosahovaní rýchlostí porovnateľných s rýchlosťou svetla. Konkrétne platí

${\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$

kde ${\displaystyle m_{0}}$ je tzv. pokojová hmotnosť telesa. V najjednoduchšom prípade je sila rovnobežná s rýchlosťou telesa. Dosadením relativistického vyjadrenia hybnosti ${\displaystyle p=mv}$ do vzťahu pre silu vtedy dostávame (použitím pravidiel o derivovaní súčinu a zloženej funkcie)

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m_{0}v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)={\frac {m_{0}a}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}$

Ak z tejto rovnice vyjadríme zrýchlenie, ľahko zistíme že pri konštantnej sile s rýchlosťou telesa zrýchlenie klesá. Ak by sme priamo dosadili v=c, zrýchlenie je nulové.

• uhlové zrýchlenie
• plošné zrýchlenie