Sila

Newtonov zákon sily ani v tvare ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ nehovorí, že sa sila pôsobiaca na hmotný bod rovná súčinu jeho hmotnosti a zrýchlenia, ktorým sa pohyb hmotného bodu za pôsobenia sily vyznačuje, ale že sa rovná súčinu hmotnosti hmotného bodu a zrýchlenia, ktoré mu sila udeľuje. Ak teda chceme, aby symbol ${\displaystyle {\vec {a}}}$ značil zrýchlenie za pôsobenia sily, musíme písať Newtonov vzťah v tvare

${\displaystyle {\vec {F}}=m({\vec {a}}-{\vec {a_{0}}})}$

kde ${\displaystyle a_{0}}$ je zrýchlenie bez pôsobenia sily ${\displaystyle {\vec {F}}}$, ktoré sa nerovná nule napríklad preto, že na hmotný bod pôsobia aj iné sily, alebo preto, že pohyb bodu vzťahujeme na neinerciálnu vzťažnú sústavu.

Tento vzťah môžeme písať aj ako:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a_{0}}}+{\frac {\vec {F}}{m}}}$.

Z toho vidíme, že ak na bod bude pôsobiť viacero síl ${\displaystyle {\vec {F_{1}}},{\vec {F_{2}}},\dots ,{\vec {F_{n}}}}$, bude jeho výsledné zrýchlenie:

${\displaystyle {\vec {a_{n}}}={\vec {a_{0}}}+{\frac {\vec {F_{1}}}{m}}+{\frac {\vec {F_{2}}}{m}}+\dots +{\frac {\vec {F_{n}}}{m}}=a_{0}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}{m}}}$

Sila, ktorá sama zmení pôvodné zrýchlenie ${\displaystyle {\vec {a_{0}}}}$ na zrýchlenie ${\displaystyle {\vec {a_{n}}}}$ a ktorej účinok na pohyb hmotného bodu je teda totožný s účinkom všetkých síl ${\displaystyle {\vec {F_{1}}},{\vec {F_{2}}},\dots ,{\vec {F_{n}}}}$, sa nazýva ich výslednicou a sily ${\displaystyle {\vec {F_{1}}},{\vec {F_{2}}},\dots ,{\vec {F_{n}}}}$ jej zložkami. Podľa definície výslednica ${\displaystyle {\vec {F_{r}}}}$ spĺňa rovnicu:

${\displaystyle {\vec {a_{n}}}={\vec {a_{0}}}+{\frac {\vec {F_{r}}}{m}}}$

Čo v kombinácii s predošlou rovnicou vedie k dôležitému výsledku:

${\displaystyle {\vec {F_{r}}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}$

Teda, výslednica síl pôsobiacich na hmotný bod sa rovná ich súčtu (vektorovému).

Majme n hmotných bodov s hmotnosťami ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}}$. Nech bod i pôsobí na bod j silou ${\displaystyle {\vec {F_{ij}}}}$ a bod j zo zákona akcie a reakcie na bod i silou ${\displaystyle {\vec {F_{ji}}}=-{\vec {F_{ij}}}}$. Nech okrem vnútorných síl účinkuju na jednotlivé hmotné body aj vonkajšie sily, na bod i sila ${\displaystyle {\vec {F_{i}}}}$. Na bod i teda pôsobí sila ${\displaystyle {\vec {F_{i}}}+{\vec {F_{1i}}}+{\vec {F_{2i}}}+\dots +{\vec {F_{ni}}}}$, pričom ${\displaystyle {\vec {F_{ii}}}=0}$, a udeľuje mu zrýchlenie ${\displaystyle {\vec {a_{i}}}}$, pre ktoré platí rovnica:

${\displaystyle {\vec {F_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}{\vec {F_{i}}}=m_{i}{\vec {a_{i}}}}$

Sčítaním týchto rovníc, napísaných pre každý hmotný bod dostaneme rovnicu:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\vec {F_{ji}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {a_{i}}}}$

Ale, keďže súčet všetkých vnútorných síl sa rovná nule, rovnicu:

${\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {a_{i}}}}$

Kde ${\displaystyle {\vec {F}}}$ je súčet všetkých vonkajších síl. Ak napíšeme zrýchlenie ${\displaystyle {\vec {a_{i}}}}$ ako deriváciu rýchlosti podľa času, dostaneme:

${\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{i}}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}}$

kde ${\displaystyle {\vec {p}}}$ je súčet hybností jednotlivých hmotných bodov nazývaný celkovou hybnosťou sústavy.

Podľa tejto rovnice, ak na sústavu nepôsobia žiadne vonkajšie sily, jej celková hybnosť sa nemení. Takúto sústavu nazývame Izolovaná sústava a fakt, že celková hybnosť izolovanej sústavy sa v čase nemení, sa nazýva zákon zachovania hybnosti.

Taktiež vieme, že:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {a_{i}}}=M{\vec {a_{t}}}}$

kde ${\displaystyle M}$ je celková hmotnosť sústavy a ${\displaystyle a_{t}}$ je zrýchlenie ťažiska. Bližšie vysvetlenie nájdete v článku o ťažisku. Dosadením potom dostávame:

${\displaystyle {\vec {F}}=M{\vec {a_{t}}}}$

To znamená, že za účinku vonkajších síl sa ťažisko sústavy hmotných bodov pohybuje tak, ako keby bola všetka hmota sústredená v ťažisku a všetky sily účinkovali v ťažisku. Ak je súčet vonkajších síl rovný nule, ťažisko sústavy je v pokoji alebo rovnomernom priamočiarom pohybe.

Pre bližšie pochopenie nasledujúcich pasáži sa odporúča znalosť vlastností momentu sily.

Sily sú vektorové veličiny – záleži na ich veľkosti aj smere. Pri skladaní síl pôsobiacich na tuhé teleso, môže záležať i na miestach, kde sily na teleso pôsobia (na pôsobiskách), pretože z rôznych pôsobísk môžu vznikať rôzne otáčavé účinky síl na teleso. Výslednica síl teda bude taká sila, ktorá bude spĺňať nasledujúce dve vlastnosti:

1. Bude spôsobovať rovnaký otáčavý účinok, teda jej moment vzhľadom na ľubovolný bod bude rovnaký, ako bol súčet momentov všetkých jej zložiek.
2. Bude spôsobovať rovnaký posuvný účinok, teda bude spôsobovať rovnaké zrýchlenie ťažiska, ako je zrýchlenie ťažiska spôsobené všetkými jej zložkami.

Skladanie síl ležiacich na jednej priamke

Ak posunieme pôsobisko sily po jej vektorovej priamke a nezmeníme jej veľkosť, nezmení sa ani moment, ktorý spôsobuje. Rovnako sa nezmení ani posuvný účinok na teleso, teda sa nezmení pohybový účinok sily na teleso vôbec. To vedie k dôležitému poznatku, že ľubovoľnú silu môžeme nahradiť inou silou ležiacou na tej istej vektorovej priamke s rovnakou veľkosťou a smerom. Sily, ktoré majú spoločnú vektorovú priamku potom môžeme na základe tohto poznatku skladať jednoducho rovnako, ako keby pôsobili v jednom bode.

Skladanie a rozkladanie síl

Skladanie rôznobežných síl

Na základe predošlého poznatku môžeme sily presunúť po ich vektorových priamkach do spoločného pôsobiska, kde ich zložíme do výslednice.

Skladanie rovnobežných síl pôsobiacich v rôznych miestach tuhého telesa

Skladajme dve sily ${\displaystyle {\vec {F_{1}}},{\vec {F_{2}}}}$ pôsobiace na teleso. Výslednica týchto síl musí mať vzhľadom na ľubovoľný bod rovnaký moment ako súčet momentov oboch síl. Zvoľme bod, vzhľadom na ktorý budeme počítať momenty ľubovoľne. Pôsobiská síl majú potom polohové vektory ${\displaystyle {\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}}}$. Vzhľadom na zvolený bod je ich celkový moment rovný:

${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {F_{1}}}+{\vec {r_{2}}}\times {\vec {F_{2}}}}$

Keďže sú však sily rovnobežné, platí tiež: ${\displaystyle {\vec {F_{2}}}={\vec {F_{1}}}{\frac {F_{2}}{F_{1}}}}$ Potom môžeme písať:

${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {F_{1}}}+{\frac {F_{2}}{F_{1}}}{\vec {r_{2}}}\times {\vec {F_{1}}}}$

${\displaystyle {\vec {M}}=\left({\vec {r_{1}}}+{\frac {F_{2}}{F_{1}}}{\vec {r_{2}}}\right)\times {\vec {F_{1}}}}$

${\displaystyle {\vec {M}}=\left({\frac {F_{1}{\vec {r_{1}}}+F_{2}{\vec {r_{2}}}}{F_{1}+F_{2}}}\right)\times ({\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}})}$

Vidíme, že moment týchto dvoch síl je rovnaký, ako moment sily, ktorá by bola súčtom týchto dvoch síl a pôsobila by na spojnici pôsobísk týchto dvoch síl rozdelujúc túto spojnicu v pomere veľkostí príslušných síl. Tiež vidíme, že takáto sila by mala rovnaký posuvný účinok na teleso, ako jej zložky. To znamená, že takáto sila spĺňa všetky podmienky potrebné na to, aby sme ju mohli nazvať výslednicou.

Pôsobisko výslednice leží medzi pôsobiskom síl ${\displaystyle {\vec {F_{1}}}\,}$ a ${\displaystyle {\vec {F_{2}}}\,}$ vo vzdialenosti ${\displaystyle d_{2}\,}$ od sily ${\displaystyle {\vec {F_{2}}}\,}$:

${\displaystyle d_{2}={\frac {F_{1}.d}{F_{1}+F_{2}}}\,}$

kde ${\displaystyle d\,}$ je vzdialenosť síl ${\displaystyle F_{1}\,}$ a ${\displaystyle F_{2}\,}$

Dvojica síl a mimobežné sily

Ak by sme v predošlom prípade chceli skladať dve rovnobežné sily, ktoré sú opačne orientované, nepodarilo by sa nám to. Ich pôsobisko by muselo byť v nekonečne. Dve rovnobežné, opačne orientované sily teda nie je možné skladať do jednej výslednice a takéto dve sily nazývame dvojicou síl.

Taktiež mimobežné sily nie je možné zložiť do jednej výslednice. Ich pohybový účinok na teleso sa nedá popísať jednou silou.

Rozklad síl je postup, ktorým sa sila rozkladá na jednotlivé zložky, ktorých zložením možno určiť pôvodnú silu.

Ak sú známe smery, v ktorých majú zložky pôsobiť, potom tieto smery tvoria smery strán rovnobežníka síl, ktorého uhlopriečkou je pôvodná sila. Velkosti strán vzniknutého rovnobežníka predstavujú veľkosti zložiek.

Ak sú známe veľkosť a smer prvej zložky, potom druhú zložku predstavuje vektor spojujúci koncové body vektorov prvej zložky a pôvodnej sily (v uvedenom poradí).

Zaujímavý je aj prípad, kedy sú všetky sily na teleso pôsobiace v rovnováhe. Vtedy je teleso v pokoji alebo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou. Teleso je v rovnováhe vtedy, keď súčet všetkých síl aj súčet všetkých momentov sú rovné nulovému vektoru. Teda:

${\displaystyle {\vec {F}}_{1}+\dots +{\vec {F}}_{n}={\vec {0}}.}$

${\displaystyle {\vec {M}}_{1}+\dots +{\vec {M}}_{n}={\vec {0}}.}$

Toto tvrdenie je v rozpore s tým, ako sa na pohyb telies pozerali grécki filozofi. Podľa nich sa telesá pohybovali iba kým na ne pôsobila sila. Vidíme, že v skutočnosti telesá zrýchľujú iba vtedy, keď na ne pôsobí sila. Ak žiadna sila nepôsobí, rýchlosť telesa sa nemení.

Pokiaľ na teleso pôsobia v jednom bode dve sily, nastane rovnováha v prípade, že sily sú rovnako veľké opačného smeru.

Pre pohyb telesa, pri ktorom sú sily v rovnováhe, platí 1. Newtnov pohybový zákon.

Teleso, pri ktorom sú sily v rovnováhe a ktoré sa nepohybuje (je v pokoji), musí byť v niektorej z rovnovážnych polôh.