Supersymetria

Jedným z dôvodov, prečo fyzici supersymetriu skúmajú je to, že ponúka rozšírenie na známejšie symetrie teórie kvantového poľa. Tieto symetrie sú zoskupené do Poincarého skupiny a interných symetrií a Coleman-Mandulova teoréma preukázala, že za určitých predpokladov symetrie S-matice musia byť priamymi produktami Poincarého skupiny s kompaktnou vnútornou symetrickou skupinou alebo ak neexistuje medzera hmotnosti, skupinou konformnou s kompaktnou vnútornou symetrickou skupinou.

V r. 1971 Golfland a Likhtman boli prvými, ktorí ukázali, že je možné rozšíriť Poincarého algebru prostredníctvom zavedenia štyroch antikomutatívnych spinorových generátorov (v štvorrozmernom priestore), ktoré sa neskôr začali označovať ako supernáboje. V r. 1975 Haag-Lopuszanski-Sohniusova teoréma analyzovala všetky možné superalgebry vo všeobecnej forme, vrátane tých, ktoré majú rozšírený počet supergenerátorov a centrálne náboje. Táto rozšírená super-Poincarého algebra vydláždila cestu na dosiahnutie veľmi veľkej a dôležitej triedy teórií supersymetrického poľa.

Tradičné supersymetrie vo fyzike sú generované objektami, ktoré sa transformujú prostredníctvom tenzorových zastúpení Poincarého skupiny a interných symetrií. Supersymetrie na druhej strane, sú generované objektami, ktoré sa transformujú prostredníctvom spinorových zastúpení. Podľa spinovo-štatistickej teorémy, bozónické polia komutujú, kým fermiónické polia antikomutujú. Kombinujúc dva druhy polí do jedného, algebra vyžaduje zavedenie Z₂-odstupňovania, za ktorého bozóny sú párnymi a fermióny nepárnymi elementami. Takáto algebra sa nazýva Lieova superalgebra.

Najjednoduchšie supersymetrické rozšírenie Poincarého algebry, vyjadrené v pojmoch dvoch Weylových spinorov, má nasledovný antikomutatívny vzťah:

${\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q_{\dot {\beta }}}}\}=2(\sigma {}^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }}$

a všetky ostatné antikomutatívne vzťahy medzi Q-čkami a komutatívne vzťahy medzi Q-čkami a P-čkami miznú. Vo vyššie uvedenom vyjadrení ${\displaystyle P_{\mu }=-i\partial {}_{\mu }}$ sú generátory prestupov a ${\displaystyle \sigma {}^{\mu }}$ Pauliho matice.

Existujú prezentácie Lieovej superalgebry, ktoré sú analogické prezentáciám Lieovej algebry. každá Lieova algebra má asociovanú Lieovu skupinu a Lieova superalgebra môže niekedy byť rozšírená na reprezentáciu Lieovej superskupiny.

Vynulovanie kvadratickej renormalizovanej hmotnosti Higgsovho bozónu medzi fermionickou slučkou vrchného kvarku a skalárom stopového podivného kvarku polčastice Feynmanových diagramov v supersymetrickom predĺžení štandardného modelu

.

Zahrnutie supersymetrie do štandardného modelu si vyžaduje zdvojnásobenie počtu častíc, keďže neexistuje žiaden spôsob, aby akákoľvek z častíc v štandardnom modeli mohla byť navzájom superpartnerom. S pridaním nových častí existuje mnoho možných nových interakcií. Najjednoduchším možným supersymetrickým modelom konzistentným so Štandardným modelom je Štandardný model minimálnej supersymetrie (MSSM), ktorý môže obsahovať nevyhnutné dodatočné nové častice, ktoré sú schopné byť superpartnermi častíc v Štandardnom modeli.

Jedna z hlavných motivácií pre SUSY pochádza z kvadraticky divergentných príspevkov k Higgsovej hmotnosti na druhú. Kvantovo-mechanické interakcie Higgsovho bozónu spôsobujú veľkú renormalizáciu Higgsovej hmotnosti a pokiaľ nedôjde k náhodnému vynulovaniu, prirodzená povaha Higgsovho bozónu je najvyššej možnej škály. Tento problém je známy ako hierarchický problém. Supersymetria redukuje veľkosť kvantových korekcií prostredníctvom automatických vynulovaní medzi fermionickými a bozonickými Higgsovými interakciami. Ak je supersymetria obnovená na slabej škále, potom sa Higgsova hmotnosť vzťahuje na porušenie supersymetrie, ktoré môže byť vyvolané malými neporušiteľnými efektami vysvetľujúcimi značne rozdielne škály v slabých interakciách a gravitačných interakciách.

V mnohých supersymetrických Štandardných modeloch existuje ťažká stabilná častica (ako napr.neutralino), ktorá by mohla slúžiť ako slabo interagujúca ťažká častica (WIMP), kandidát na tmavú hmotu. Existencia kandidáta supersymetrickej tmavej hmoty je úzko spojená s R-paritou.

Štandardným postupom pre zahrnutie supersymetrie do realistickej teória je mať supersymetrickú aj príslušnú dynamiku tejto teórie, ale základný stav teórie nerešpektuje symetriu a supersymetria je prerušená spontánne. Ako sa v súčasnosti zdá, prerušenie supersymetrie nie je možné časticami MSSM permanentne. To znamená, že existuje nový sektor teórie, ktorý je zodpovedný pre prerušenie. Jediným obmedzením v tomto novom sektore je, že musí prerušovať supersymetriu permanentne a musí poskytovať superčastice o hmotnosti TeV škály. Existuje mnoho modelov ktoré toto dokážu a väčšina ich detailov nie je momentálne dôležitá. S cieľom parametrizovať príslušné vlastnosti prerušenia supersymetrie sa do teórie pridávajú arbitrárne pojmy jemného porušenia SUSY, ktoré dočasne prerušujú SUSY explicitne, ale nikdy nevznikajú z úplnej teórie prerušenia supersymetrie.

Jedný z existujúcich dôkazov pre supersymetriu je kalibračné spojovacie zjednotenie. Evolúcia renormalizačnej skupiny tretieho kalibru spojovacích konštánt Štandardného modelu je do istej miery závislá na súčasnom časticovom obsahu teórie. Tieto spojovacie konštanty sa celkom nestretajú na spoločnej energetickej škále ak urobíme renormalizačnú skupinu použijúc Štandardný model.[1] S pridaním minimálne SUSY spojovacej konvergencie spojovacích konštánt sa počíta pri približne 10¹⁶ GeV.[1]

Supersymetrická kvantová mechanika pridáva SUSY algebru do kvantovej mechaniky v protiklade ku kvantovej teórii poľa. Supersymetrická kvantová mechanika sa často objavuje, keď študujeme dynamiku supersymetrie solitónov a v dôsledku zjednodušenej povahy polí majúcich len funkcie času (a nie časopriestoru) bol v tomto smere urobený veľký pokrok a teraz je podrobne študovaný.

SUSY kvantová mechanika zahrňuje páry Hamiltonianov, ktoré zdieľajú niektoré matematický vzťahy, ktoré sa nazývajú Hamiltonianski partneri. (Pojmy potenciálnej energie, ktoré sa vyskytujú v Hamiltonianoch sa potom nazývajú potenciálni partneri.) Úvodná teoréma ukazuje, že pre každý vlastný stav "eigenstate" Hamiltonianu má jeho Hamiltoniansky partner korešpondujúci vlastný stav (eigenstate) s rovnakou energiou. Tento fakt je možné využiť pre dedukovanie mnohých vlastností eigenstavu spektra. Je to analogické s pôvodným popisom SUSY, ktorý sa odvolával na bozóny a fermióny. Môžeme si predstaviť ´"bozónické Hamiltoniany", ktorých "eigen (vlastné)" stavy sú rôzne bozóny našej teórie. SUSY partneri tohto Hamiltonianu by sa nazývali "fermionickými" a ich eigenstavy by boli teoreticky fermiónmi. Každý bozón by mal fermionického partnera rovnakej energie.

SUSY koncepty preukázali užitočné rozšírenia ku WKB approximácii. Na dôvažok, SUSY bola aplikovaná na nekvantovú štatistickú mechaniku prostredníctvom Fokker-Planckovej rovnice.

SUSY je tiež niekedy študovaná matematicky pre svoje vnútorné vlastnosti. Je to preto, lebo popisuje komplexné polia vhodné pre vlastnosť akou je holomorfnosť, ktorá umožňuje presný výpočet holomorfných objemov. Toto je dôvodom pre užitočnosť supersymetrických modelov ako demonštračných modelov pre realistickejšie teórie. Primárnym príkladom tohto bola demonštrácia S-duality v štvorrozmerných kalibračných teóriách, kde dochádza k výmene častíc a monopolov.

Je možné mať supersymetriu s iným počtom rozmerov ako sú štyri. Pretože vlastnosti spinorov sa medzi rôznym počtom rozmerov značne menia, každý rozmer má svoje charakteristiky. V d dimenziách je veľkosť spinorov približne 2^d/2 or 2^{(d − 1)/2}. Keďže maximálny počet supersymetrií je 32, najväčší počet dimenzií, v ktorých supersymetrická teória môže existovať, je jedenásť.