Rovnobežník

Ak sú vrcholy ${\displaystyle A,B,C,D}$ zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}$, atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

${\displaystyle S=\left|\det \left({\begin{array}{cc}x_{B}-x_{A}&x_{D}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{D}-y_{A}\end{array}}\right)\right|=|(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A})|.}$

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol ${\displaystyle A}$ s počiatkom súradnicového systému, t. j. ${\displaystyle A=(0,0)}$, potom teda:

${\displaystyle S=|x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B}|.}$

Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného ${\displaystyle n}$ – rozmerného nadrovnobežnostenu (v ${\displaystyle n}$ – rozmernom priestore).

Ak sú vrcholy ${\displaystyle A,B,C,D}$ zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. ${\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}$, ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}$, atď, a zavedieme ak stranové vektory

${\displaystyle \mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},z_{D}-z_{A}),}$

je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$, kde „${\displaystyle \times }$“ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

${\displaystyle S=\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|_{2}={\Big (}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){\Big )}^{1/2}}$

kde „${\displaystyle \,\cdot \,}$“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi ${\displaystyle z}$, t. j.

${\displaystyle \mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0),}$

potom:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\Big (}0,0,(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}){\Big )},}$

čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol ${\displaystyle A}$ s počiatkom súradnicového systému, t. j. ${\displaystyle A=(0,0,0)}$, potom

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(y_{B}z_{D}-y_{D}z_{B},x_{D}z_{B}-x_{B}z_{D},x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})}$

vo všeobecnom prípade , respektíve:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(0,0,x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})}$

v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi ${\displaystyle z}$.

Zovšeobecnením vektorového súčinu do ${\displaystyle n}$ – rozmerného priestoru (ide o o súčin ${\displaystyle (n-1)}$ lineárne nezávislých vektorov dĺžky ${\displaystyle n}$, ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného ${\displaystyle (n-1)}$ – rozmerného nadrovnobežníka v ${\displaystyle n}$ – rozmernom priestore.

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom ${\displaystyle n}$ – rozmernom priestore

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}),}$

potom jeho obsah je daný vzťahom:

${\displaystyle S={\sqrt {\|\mathbf {a} \|_{2}^{2}\|\mathbf {b} \|_{2}^{2}-\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}={\Big (}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}{\Big )}^{1/2},}$

kde „${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$“, resp . „${\displaystyle \,\cdot \,}$“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:

${\displaystyle \mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0,\ldots ,0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0,\ldots ,0),}$

opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.