Riemannova guľa

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc ${\displaystyle \zeta ,\xi \in \mathbb {C} }$, kde

${\displaystyle \zeta$ :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}\to \mathbb {C} } je definovaná ako ${\displaystyle \zeta (z)=z}$

a

${\displaystyle \xi$ :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} } je definovaná ako ${\displaystyle \zeta (z)={\frac {1}{z}}}$ pre ${\displaystyle z\neq \infty }$ a 0 pre ${\displaystyle z=\infty }$.

Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú ${\displaystyle \infty }$). Počiatok ${\displaystyle \zeta }$-súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre ${\displaystyle \xi }$-súradnicu a naopak.

Stereografická projekcia Riemannovej gule do Gaussovej roviny.

Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.[1][2]

• Komplexná analýza
• Gaussova rovina
• Stereografická projekcia

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Riemannova guľa

• Riemannova guľa - PlanetMath (po anglicky)
• Riemannova guľa - Wolfram MathWorld (po anglicky)

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článkov Riemann sphere na anglickej Wikipédii a Riemannova koule na českej Wikipédii.