Najväčší spoločný deliteľ

${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\max\{n\in \mathbb {N} :n\mid a\wedge n\mid b\}}$

• Určenie najväčšieho spoločného deliteľa je matematická operácia, ktorá je
  • idempotentná,

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,a)=a}$

  • asociatívna

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (\operatorname {NSD} (a,b),c)=\operatorname {NSD} (a,(\operatorname {NSD} (b,c))}$

  • a komutatívna.

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (b,a)}$

• Súčin najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel sa rovná súčinu týchto dvoch čísel:

  ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)\operatorname {nsn} (a,b)=ab}$

• ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (a,b-a)}$ (pre ${\displaystyle b>a}$). Túto vlastnosť využíva Euklidov algoritmus:

  Označme ${\displaystyle D_{1}}$ množinu spoločných deliteľov čísel ${\displaystyle a,b}$ a ${\displaystyle D_{2}}$ množinu spoločných deliteľov čísel ${\displaystyle a,b-a}$. Uvedomíme si, že

  ${\displaystyle d\mid a\land d\mid (b-a)\Rightarrow d\mid a\land d\mid b\Rightarrow \operatorname {NSD} (a,b-a)\in D_{1}}$

  ${\displaystyle d\mid a\land d\mid b\Rightarrow d\mid a\land d\mid (b-a)\Rightarrow \operatorname {NSD} (a,b)\in D_{2}}$

  Ak by ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)>\operatorname {NSD} (a,b-a)}$, dostali by sme spor, pretože v množine ${\displaystyle D_{2}}$ by bol väčší prvok ako ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b-a)}$. Podobný spor by sme dostali, ak by ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)<\operatorname {NSD} (a,b-a)}$. Preto ${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\operatorname {NSD} (a,b-a)}$.[1]

Najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (a vďaka asociatívnosti i ľubovoľne mnohých) možno určiť prostredníctvom prvočíselného rozkladu oboch čísel, ako súčin prvočísel umocnený na najmenší z exponentov pri príslušnom prvočísle v rozkladoch:

Nech ${\displaystyle \prod _{i}p_{i}^{e_{i}}}$ je prvočíselný rozklad čísla ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle \prod _{i}p_{i}^{f_{i}}}$ prvočíselný rozklad čísla ${\displaystyle b}$. Potom

${\displaystyle \operatorname {NSD} (a,b)=\prod _{i}p_{i}^{\min {(e_{i},f_{i})}}}$.

Napríklad najväčšieho spoločného deliteľa čísel 136 a 204 možno nájsť tak, že zistíme, že 136=2³ × 17 a 204= 2² × 3 × 17. V rozkladoch sa vyskytujú prvočísla 2, 3 a 17 s exponentmi 3, 0, 1 pri menšom čísle a 2, 1, 1 pri väčšom čísle. Výsledný NSD je potom súčinom prvočísel vyskytujúcich sa v oboch rozkladoch umocnených na príslušné najmenšie exponenty, teda 2² × 17=68.

Tento výpočet je ľahko pochopiteľný, ale v praxi úplne nepoužiteľný s výnimkou veľmi malých čísel, pretože získanie rozkladu na prvočísla je extrémne náročná operácia.

Pre praktické výpočty slúžia výrazne rýchlejšie algoritmy, hlavne tzv. Euklidov algoritmus.

• Najmenší spoločný násobok
• Nesúdeliteľné čísla
• Euklidov algoritmus

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Největší společný dělitel na českej Wikipédii.

• Najväčší spoločný deliteľ

1. Najväčší spoločný deliteľ [online]. https://oskole.detiamy.sk, [cit. 2019-07-31]. Dostupné online.