Momentová vytvárajúca funkcia

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná veličina. Potom reálnu funkciu ${\displaystyle M}$ reálnej premennej ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle M:\mathbb {R} \rightarrow \left[0;\infty \right]}$) definovanú ako strednú hodnotu z výrazu ${\displaystyle e^{tX}}$, teda nasledovne:

${\displaystyle M_{X}(t)=E[e^{tX}]}$

nazývame momentovou vytvárajúcou funkciou tejto náhodnej premennej.

Pre spojité náhodné veličiny teda podľa definície strednej hodnoty platí:

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx}$

A pre diskrétne náhodné veličiny dostávame:

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{i}e^{tx_{i}}p_{i}}$

kde ${\displaystyle f(x)}$ je hustota spojitej náhodnej premennej ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle p_{i}}$ je pravdepodobnostné rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej ${\displaystyle X}$.

V prípade, že ${\displaystyle {\mathbf {X} }}$ je n-rozmerný náhodný vektor, teda: ${\displaystyle {\mathbf {X} }=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$, tak momentová vytvárajúca funkcia pre ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$ je definovaná nasledovne:

${\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} )=E\left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right)}$.

Pre dané pravdepodobnostné rozdelenie existuje práve jedna momentová vytvárajúca funkcia, a tým pádom jednoznačne určuje dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny (rovnako ako distribučná funkcia náhodnej veličiny).

Momentová vytvárajúca funkcia v bode 0 (teda pre: ${\displaystyle t=0}$) existuje vždy a je rovná 1.

Pokiaľ máme momentovú vytvárajúcu funkciu ${\displaystyle M_{X}(t)}$ a pre ľubovoľné ${\displaystyle m>0}$ platí nasledovné:

• ${\displaystyle M_{X}(m)<\infty }$
• ${\displaystyle M_{X}(-m)<\infty }$

tak potom pre túto momentovú funkciu platí, že je konečná a spojitá na intervale ${\displaystyle <-m;m>}$. Na intervale ${\displaystyle (-m;m)}$ existujú tiež derivácie všetkých rádov, pričom sú všetky spojité.

Ako bolo vyššie spomenuté, derivovaním tejto funkcie v bode nula vieme vypočítať momenty náhodných veličín:

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)|_{t=0}=E[X^{k}]}$

V prípade, že položíme ${\displaystyle k=2}$ a ${\displaystyle k=3}$, tak platí nasledujúci vzťah:

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dt^{k}}}lnM_{X}(t)|_{t=0}=E\left[\left(X-E[X]\right)^{k}\right]}$

Pokiaľ pre dve náhodne veličiny ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ a pre každé ${\displaystyle t\in <-m;m>}$, kde ${\displaystyle m>0}$, platí, že ich momentové vytvárajúce funkcie sa rovnajú, teda:

${\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t)}$

tak potom majú tieto dve náhodné veličiny rovnaké rozdelenie pravdepodobnosti, teda:

${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)}$

Ďalší dôležitý vzťah sa týka momentovej vytvárajúcej funkcie súčtu náhodných veličín. Platí nasledovné:

${\displaystyle M_{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)}$

Alebo všeobecnejší vzťah pre súčet n lineárnych kombinácií nezávislých náhodných veličín (nie nutne rovnako rozdelených), teda pre:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$

kde ${\displaystyle a_{i}}$ sú konštanty, vyzerá nasledovne:

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)}$.

Pre jednotlivé konkrétne typy rozdelení je momentová vytvárajúca funkcia vyjadrená nasledovne:

Rozdelenie	Momentová vytvárajúca funkcia ${\displaystyle M_{X}(t)}$
Alternatívne rozdelenie ${\displaystyle P(X=1)=p}$	${\displaystyle 1-p+pe^{t}}$
Geometrické rozdelenie ${\displaystyle (1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}$; pre ${\displaystyle t<-\ln(1-p)}$
Binomické rozdelenie ${\displaystyle Bin(n,p)}$	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}}$
Poissonovo rozdelenie ${\displaystyle Poi(\lambda )}$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{t}-1)}}$
Rovnomerné rozdelenie ${\displaystyle Ro(a,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$
Normálne rozdelenie ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$
Χ²-rozdelenie ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}}$
Gama rozdelenie ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$	${\displaystyle (1-t\theta )^{-k}}$
Exponenciálne rozdelenie ${\displaystyle Exp(\lambda )}$	${\displaystyle (1-t\lambda ^{-1})^{-1}}$
Viacrozmerné normálne rozdelenie ${\displaystyle N(\mu ,\Sigma )}$	${\displaystyle e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}$
Cauchyho rozdelenie ${\displaystyle Cauchy(\mu ,\theta )}$	neexistuje
Negatívne binomické rozdelenie ${\displaystyle NBin(r,p)}$	${\displaystyle {\frac {((1-p)e^{t})^{r}}{(1-pe^{t})^{r}}}}$

• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA : Vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. Kapitola Další charakteristiky, s. 230. (čeština)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Základné pojmy teórie pravdepodobnosti, s. 261.
• APLIKOVANÁ ŠTATISTIKA [online]. kirp.chtf.stuba.sk, [cit. 2012-09-07]. Dostupné online.
• KAČERÍKOVÁ, Jana. Štatistické odhady parametrov rozdelení v poisťovníctve – Diplomová práca. Bratislava : Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, 2012. Dostupné online. Kapitola Rozdelenie v poisťovníctve.
• HOLOSOVÁ, Marianna. Monte Carlo metódy výpočtu pravdepodobnosti extremálnych udalostí – Diplomová práca. Bratislava : Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, 2012. Dostupné online. Kapitola Vybrané tvrdenia o spojitých rozdeleniach pravdepodobnosti.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Moment-generating function na anglickej Wikipédii.