Geometrické rozdelenie

Geometrické rozdelenie (iné názvy: geometrické pravdepodobnostné rozdelenie, geometrické rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad negatívneho binomického rozdelenia, pokiaľ v tomto rozdelení položíme parameter $k$ rovný 1.

Uvažujme postupnosť nezávislých pokusov. Pri každom z týchto pokusov máme rovnakú pravdepodobnosť, že nastane nami sledovaná náhodná udalosť A, a túto pravdepodobnosť označme $p$ . Tieto pokusy potom opakujeme do vtedy, kým po prvýkrát nenastane udalosť A. Teda, ak máme $k$ pokusov, tak pri $(k-1)$ pokusoch udalosť A nenastala, nastala až pri k-tom pokuse.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má geometrické rozdelenie s parametrom $p$ , kde $p\in (0,1)$ , ak nadobúda hodnoty $k=0,1,2,...$ s pravdepodobnosťami $p_{0},p_{1},p_{2},...$ , pričom platí nasledovný vzťah:

p_{k}=P(X=k)=p(1-p)^{k}

Označujeme:

$X\sim Ge(p)$
$X\sim Geo(p)$
$X\sim Geom(p)$

Základné charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota:

\operatorname {E} (X)={\frac {1-p}{p}}

Rozptyl:

\operatorname {D} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}

Koeficient šikmosti:

\gamma _{1}={\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}

Momentová vytvárajúca funkcia:

m(t)={\frac {p}{1-e^{t}(1-p)}}

Zdroje

JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Základné rozdelenia diskrétnych náhodných veličín a ich stredné hodnoty, s. 150.
PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.