Χ²-rozdelenie

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná premenná a nech ${\displaystyle n}$ je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná ${\displaystyle X}$ má ${\displaystyle \chi ^{2}}$-rozdelenie s ${\displaystyle n}$ stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}&\mathrm {pre} \ x>0\\0&\mathrm {pre} \ x\leq 0\end{cases}}}$

kde označenie ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha -1}\mathrm {d} x}$

Označenie:

• ${\displaystyle \operatorname {X} \sim \chi ^{2}(n)}$
• ${\displaystyle \operatorname {X} \sim \chi _{n}^{2}}$

Pokiaľ máme náhodnú premennú ${\displaystyle X}$, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$, tak náhodná premenná ${\displaystyle Y=X^{2}}$ má ${\displaystyle \chi ^{2}}$-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(1)}$.

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme ${\displaystyle k}$ nezávislých náhodných premenných ${\displaystyle X_{1},...,X_{k}}$, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda ${\displaystyle X_{j}\sim N(0,1)}$ pre ${\displaystyle j=1,...,k}$. Potom nasledovná náhodná premenná:

${\displaystyle X=\sum _{j=1}^{k}X_{j}^{2}}$

má ${\displaystyle \chi ^{2}}$-rozdelenie s ${\displaystyle k}$ stupňami voľnosti, teda ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$.

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

${\displaystyle \mu _{r}={\frac {2^{r}\Gamma (r+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej ${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=n}$
• ${\displaystyle \operatorname {D} (X)=2n}$

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2}{\sqrt {\frac {n}{2}}}}}$

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {12}{n}}}$

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{x}t^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {t}{2}}}\mathrm {d} t}$

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra ${\displaystyle n}$ nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

${\displaystyle {\frac {X-E(X)}{\sqrt {D(X)}}}={\frac {X-n}{\sqrt {2n}}}}$

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra ${\displaystyle n}$ väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná premenná s ${\displaystyle \chi ^{2}}$ rozdelením s ${\displaystyle n}$ stupňami voľnosti. Potom hodnoty ${\displaystyle \operatorname {\chi } ^{2}(n,\alpha )}$, ktoré náhodná premenná ${\displaystyle X}$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou ${\displaystyle \alpha }$ nazývame kritické hodnoty ${\displaystyle \chi ^{2}}$-rozdelenia. Matematicky zapísané:

${\displaystyle P(X>\chi ^{2}(n,\alpha ))=\int _{\chi ^{2}(n,\alpha )}^{\infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x=\alpha }$

• RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
• POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.