Metóda integrovania per partes

Riešenie integrálov metódou per partes by sa dalo označiť za proces viac skusmý ako čisto mechanický. Zvyčajne sa na začiatku daná funkcia opatrne rozdelí na súčin dvoch funkcií u(x)v(x). A to tak, aby výsledný integrál, ktorý vznikne postupom per partes, bolo možné vyriešiť jednoduchšie ako pôvodnú funkciu v celku. Nižšie uvedený vzorec popisuje najefektívnejší postup:

${\displaystyle \int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.}$

Možno si povšimnúť, že na pravej strane je u derivované a v integrované. Je teda výhodné zvoliť za u funkciu, ktorá sa derivovaním zjednoduší alebo za v vybrať funkciu, ktorá sa zase zjednoduší integrovaním. Ako jednoduchý príklad uvažujme:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}$

Pretože derivácia ln(x) je ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$, označíme (ln(x)) ako u. A nakoľko integrál z ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{2}}}}$ je ${\displaystyle -{\tfrac {1}{x}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{2}}}dx}$ označíme ako dv. Situácia je teraz nasledovná:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}$

Integrál z ${\displaystyle -{\tfrac {1}{x^{2}}}}$ možno nájsť pomocou pravidla mocniny, čo sa bude rovnať ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$.

Možnou alternatívou je aj voľba u a v takým spôsobom, že výsledok u' (∫v dx) sa zjednoduší vykrátením. Uvažujme napríklad tento integrál:

${\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.}$

Ak zvolíme u(x) = ln(|sin(x)|) a v(x) = 1/cos²x, potom derivované u bude 1/tan x použitím reťazového pravidla a v sa integruje na tan x. Výsledok teda bude

${\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}$

Integrand sa vykráti na 1, teda integrál bude rovný x. Hľadanie kombinácií vhodných na zjednodušenie si často vyžaduje istú dávku experimentovania.

V niektorých prípadoch nemusí byť potrebné, aby bol integrál, ktorý vznikol pomocou per partes, v čo najjednoduchšom tvare. Napríklad v numerickej matematike môže postačovať, že má malú veľkosť, a teda k výslednému odhadu prispieva len malou chybou. Niektoré iné špeciálne techniky sú predvedené na nižšie uvedených príkladoch.

Polynomické a goniometrické funkcie

Pre výpočet

${\displaystyle I=\int x\cos(x)\ dx\ ,}$

nech:

${\displaystyle u=x\ \Rightarrow \ du=dx}$

${\displaystyle dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)}$

potom:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}\!}$

kde C je integračná konštanta.

Pre vyššie mocniny x v tvare

${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\ ,}$

možno integrál vyčísliť opakovaným použitím metódy per partes. Každým použitím tejto metódy sa mocnina x zníži o jeden stupeň.

Exponenciálne a goniometrické funkcie

Často využívaný príklad spôsobu integrovania per partes je

${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

V tomto príklade je integrovanie per partes použité dvakrát. Najprv nech

${\displaystyle {\displaystyle u=\cos(x)\ \Rightarrow \ du=-\sin(x)\ dx}}$

${\displaystyle {\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}}}$

potom:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\ dx.}$

Teraz, na vyčíslenie zvyšnej časti integrálu použijeme opäť integrovanie per partes:

${\displaystyle u=\sin(x)\ \Rightarrow \ du=\cos(x)\ dx}$

${\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}.}$

Teda:

${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\ dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

Čo v celku dáva nasledovné:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}$

Na oboch stranách rovnice si môžeme všimnúť rovnaký integrál, po ktorého pričítaní na obe strany rovnice dostaneme

${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}+C}$

čo možno upraviť do tvaru

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx={\frac {e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}}{2}}+C'}$

kde C (a C' = C/2) je integračná konštanta.

Podobná metóda sa uplatňuje aj pri hľadaní integrálu tretej mocniny sekansu.

Funkcie vynásobené jednotkou

Dva ďalšie široko známe príklady možno nájsť pri integrovaní funkcie vyjadrenej ako násobok seba samej a jednotky. Funguje to v prípade, ak je známa derivácia tejto funkcie a integrál tejto derivácie vynásobený x je takisto známy.

Prvým príkladom je ∫ ln(x) dx. Napíšeme ho ako

${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .}$

Nech

${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$

${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$

potom

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$

kde C je integračná konštanta.

Druhým príkladom je funkcia "inverzná" k tangensu, a to arctan(x):

${\displaystyle I=\int \arctan(x)\ dx.}$

Integrál upravíme na

${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\ dx.}$

Teraz, nech

${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$

potom

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\cdot \arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$

pričom integrál

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]\end{aligned}}}$

bol vyčíslený substitučnou metódou.

Toto pravidlo, ktoré navrhol Herbert Kasube, vraví, že akákoľvek z funkcií integrálu, ktorá sa v nasledujúcom zozname objaví ako prvá, by mala byť označená ako u:[1]

L - Logaritmické funkcie: ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$ atď.

I - Inverzné goniometrické funkcie: ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),}$ atď.

A - Algebraické funkcie: ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$ atď.

T - Goniometrické funkcie: ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),}$ atď. (T značí Trigonometric functions, je to teda anglický pojem pre goniometrické funkcie)

E - Exponenciálne funkcie: ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$ atď.

Funkcia označená ako dv je teda tá, ktorá sa vo vyššie uvedenom zozname objaví ako druhá v poradí. A to z toho dôvodu, že funkcie umiestnené nižšie v zozname su jednoduchšie integrovateľné, ako funkcie nad nimi. Toto pravidlo je občas označované aj ako „DETAIL“, kde písmeno D znamená dv.

Na ukážku využitia pravidla LIATE uvažujme integrál

${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\ dx\ .}$

Podľa pravidla LIATE, u = x a dv = cos(x)dx, teda du = dx a v = sin(x). Výsledný integrál bude teda nasledovný:

${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\ dx}$

čo vo výsledku dáva

${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C\ .}$

Vo všeobecnosti sa teda usilujeme zvoliť u a dv takým spôsobom, aby výraz du bol jednoduchší ako u a výraz dv jednoducho integrovateľný. Ak by namiesto toho bola za u zvolená funkcia cos(x) a x.dx ako dv, dostali by sme integrál

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\ dx\ ,}$

ktorý by po opakovanej aplikácii metódy per partes jednoznačne vyúsťoval do nekonečného počtu ďalších integrálov.

Napriek svojim výhodám má pravidlo LIATE aj isté obmedzenia. Častou alternatívou je zoradenie pravidiel do postupnosti „ILATE“. A taktiež, v niektorých prípadoch, mnohočleny je potrebné rozdeliť netradičnými spôsobmi. Napríklad, aby sme integrovali

${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\ dx\ ,}$

zvolíme

${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\ dx\ ,}$

teda

${\displaystyle du=2x\ dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}\ .}$

Potom

${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\ dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\ dx=\int u\ dv=uv-\int v\ du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\ dx\ .}$

Napokon, výsledok bude

${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\ dx={\frac {e^{x^{2}}(x^{2}-1)}{2}}+C.}$