Charakteristická funkcia (teória pravdepodobnosti)

Nech ${\displaystyle X}$ je náhodná premenná a nech ${\displaystyle F(x)}$ je jej distribučná funkcia. Komplexná funkcia reálnej premennej ${\displaystyle \varphi _{X}(t):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$, ktorú definujeme nasledujúcim vzťahom:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left[e^{itX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)\quad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)}$

sa nazýva charakteristická funkcia náhodnej premennej ${\displaystyle X}$.

V uvedenom vzťahu písmeno ${\displaystyle i}$ označuje tzv. imaginárnu jednotku komplexného čísla ${\displaystyle a+ib}$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ je množina reálnych čísel, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je množina komplexných čísel a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Pre imaginárnu jednotku uvedenú v definícii platí známy vzťah: ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Vo výraze v zátvorke nachádzajúcom sa na konci vzťahu označuje symbol ${\displaystyle f_{X}(x)}$ hustotu náhodnej veličiny. Posledná rovnosť však platí len v tom prípade, ak existuje hustota náhodnej veličiny (pokiaľ neexistuje, tak samozrejme nemôžeme charakteristickú funkciu pomocou nej vyjadriť).

Ďalej môžeme definovať vzťah pre ${\displaystyle e^{it}}$ nasledovne:

${\displaystyle e^{it}=cos(t)+isin(t)}$

A vďaka tomuto vzťahu môžeme písať:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=E\left[e^{itX}\right]=E\left[cos(tX)\right]+iE\left[sin(tX)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)\,dF(x)}$

Pokiaľ je uvažovaná náhodná veličina ${\displaystyle X}$ diskrétna, tak platí nasledovné:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k}e^{itx_{k}}P\left[X=x_{k}\right]=\sum _{k}cos(tx_{k})P\left[X=x_{k}\right]+i\sum _{k}sin(tx_{k})P\left[X=x_{k}\right]}$

Charakteristická funkcia má niekoľko dôležitých vlastností. Jednou z týchto vlastností je, že charakteristická funkcia v bode 0 je rovná 1, teda matematicky zapísané: ${\displaystyle \varphi _{X}(0)=1}$.

Platnosť tejto rovnosti sa dá ukázať nasledovným postupom:

${\displaystyle \varphi _{X}(0)=E\left[e^{i.0.X}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i.0.x}dF(x)=\int _{-\infty }^{\infty }1.dF(x)=\int _{-\infty }^{\infty }dF(x)=1}$

Ďalšou vlastnosťou je, že charakteristická funkcia je ohraničená, teda: ${\displaystyle |\varphi _{X}(t)|\leq 1}$ pre všetky ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Pre charakteristickú funkciu zo záponého argumentu zase platí nasledovné: ${\displaystyle \varphi _{X}(-t)={\bar {\varphi _{X}(t)}}}$ pre všetky ${\displaystyle t\in R}$, kde ${\displaystyle {\bar {\varphi _{X}(t)}}}$ vyjadruje komplexne združené číslo k číslu ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$

Charakteristická funkcia ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ je rovnomerne spojitá na množine reálnych čísiel ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Charakteristická funkcia ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ je tiež kladne semidefinitná, teda platí:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\bar {\lambda _{i}}}\varphi _{X}\left(t_{i}-t_{j}\right)\geq 0}$
pričom nerovnosť platí pre ľubovoľné komplexné čísla ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$ a ľubovoľné reálne čísla ${\displaystyle t_{1},\cdots ,t_{n}}$, pre ${\displaystyle n\geq 1}$. Symbol ${\displaystyle {\bar {\lambda _{i}}}}$ označuje komplexne združené číslo k číslu ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Existuje vzťah medzi charakteristickými funkciami náhodných premenných a distribučnými funkciami náhodných premenných. Teda pokiaľ máme dve náhodné premenné ${\displaystyle X_{1}}$ a ${\displaystyle X_{2}}$, tak platí nasledovné:

${\displaystyle F_{X_{1}}=F_{X_{2}}\ \Leftrightarrow \ \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}}$

Pokiaľ existuje hustota ${\displaystyle f(x)}$ náhodnej veličiny ${\displaystyle X}$, pričom táto náhodná veličina má distribučnú funkciu ${\displaystyle F(x)}$, tak potom charakteristická funkcia tejto náhodnej veličiny sa dá vyjadriť aj v nasledujúcom tvare:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)f(x)dx+i\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)f(x)\,dx}$

Pre charakteristickú funkciu súčtu náhodných veličín, teda pre takú náhodnú veličinu ${\displaystyle Y}$, ktorá je súčtom ${\displaystyle n}$ nezávislých náhodných veličín: ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ platí vzťah:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\varphi _{X_{i}}(t)}$

Pre náhodnú veličinu nasledovného tvaru: ${\displaystyle Y=aX+b}$ zase platí:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)}$

Pomocou charakteristickej funkcie sa dajú pomerne jednoducho vyrátať aj momenty náhodných veličín (pokiaľ tieto samozrejme existujú). Predpokladajme, že pre ${\displaystyle k=1,2,\cdots ,j}$ , ${\displaystyle j\geq 1}$ je ${\displaystyle E\left(|X|^{k}\right)<\infty }$. Potom vieme, že k-te derivácie, ktoré označíme ${\displaystyle \varphi ^{k}}$ funkcie ${\displaystyle \varphi }$ existujú a platí pre ne nasledovný vzťah:

${\displaystyle \varphi _{X}^{k}(0)=i^{k}E\left(X^{k}\right)}$

Každá náhodná veličina má svoju charakteristickú funkciu, teda inak povedané – charakteristická funkcia náhodnej veličiny existuje vždy. V tom sa líši napríklad od momentovej vytvárajúcej funkcie, ktorá nie je definovaná pre všetky náhodné veličiny.

Pokiaľ teda máme ľubovoľnú náhodnú veličinu ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, tak určite vieme, že pre každé ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ platí (napr. pre funkciu kosínus), že: ${\displaystyle |cos(tx)|\leq 1}$ (analogicky pre funkciu sínus). Teda určite vieme, že funkcie ${\displaystyle e^{itx}}$, ${\displaystyle cos(tx)}$ a ${\displaystyle sin(tx)}$ sú spojité a ohraničené na množine ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Z toho teda dostávame nasledovné:

${\displaystyle E\left[e^{itx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x)<\infty }$

${\displaystyle E\left[cos(tx)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }cos(tx)dF(x)<\infty }$

${\displaystyle E\left[sin(tx)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }sin(tx)dF(x)<\infty }$

Teda Lebesgueove-Stieltjesove integrály existujú a sú konečné, ohraničené.

Pre konkrétne rozdelenia pravdepodobnosti má charakteristická funkcia nasledovné vyjadrenia:

Rozdelenie pravdepodobnosti	Charakteristická funkcia
Degenerované rozdelenie ${\displaystyle \delta _{a}}$	${\displaystyle e^{ita}}$
Alternatívne rozdelenie ${\displaystyle Alt(p)}$	${\displaystyle 1-p+pe^{it}}$
Binomické rozdelenie ${\displaystyle Bin(n,p)}$	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}}$
Negatívne binomické rozdelenie ${\displaystyle NBin(r,p)}$	${\displaystyle \left({\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}\right)^{r}}$
Poissonovo rozdelenie ${\displaystyle Poi(\lambda )}$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
Rovnomerné rozdelenie ${\displaystyle R(a,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$
Laplaceovo rozdelenie ${\displaystyle L(\mu ,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}$
Normálne rozdelenie ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$
Chí-kvadrát rozdelenie ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$
Cauchyho rozdelenie ${\displaystyle C(\mu ,\theta )}$	${\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}}$
Gama rozdelenie ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$	${\displaystyle (1-it\theta )^{-k}}$
Exponenciálne rozdelenie ${\displaystyle Exp(\lambda )}$	${\displaystyle (1-it\lambda ^{-1})^{-1}}$
Mnohorozmerné normálne rozdelenie ${\displaystyle N(\mu ,\Sigma )}$	${\displaystyle e^{it^{T}\mu -{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}}$
Mnohorozmerné Cauchyho rozdelenie ${\displaystyle C(\mu ,\Sigma )}$	${\displaystyle e^{it^{T}\mu -{\sqrt {t^{T}\Sigma t}}}}$

• RIEČAN, Bieloslav; LAMOŠ, František. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA - Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1984. Kapitola Charakteristické funkcie, s. 320.
• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344.
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Charakteristické funkcie, s. 150.

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Characteristic function (probability theory) na anglickej Wikipédii.