Fourierova transformácia

Fourierova transformácia ${\displaystyle S(\omega )}$ funkcie ${\displaystyle s(t)}$ je definovaná integrálnym vzťahom

${\displaystyle S(i\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-\imath \omega t}\,dt}$

Funkciu ${\displaystyle s(t)}$ vypočítame z ${\displaystyle S(\omega )}$ pomocou inverznej Fourierovej transformácie

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }S(i\omega )e^{\imath \omega t}\,d\omega }$

Nevlastné integrály chápeme v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty, t. j.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }[.]\,d=\lim _{T\to \infty }\int \limits _{-T}^{T}[.]\,d}$

Dvojice vo Fourierovej transformácii sa nazývajú originál (v tomto prípade ${\displaystyle s(t)}$) a obraz (${\displaystyle S(\omega )}$). Vzťah medzi originálom a obrazom vyjadrujeme zápisom

${\displaystyle S(\omega )={\mathcal {F}}[s(t)]}$ a ${\displaystyle s(t)={\mathcal {F}}^{-1}[S(\omega )]}$.

V technickej oblasti je ${\displaystyle \omega }$ uhlová rýchlosť, ${\displaystyle S(\omega )}$ predstavuje spektrum signálu ${\displaystyle s(t)}$.

Spektrum je komplexná veličina a možno ju vyjadriť v tvare ${\displaystyle S(\omega )=\left|S(\omega )\right|e^{i\mathrm {arg} \,S(\omega )}}$. Veľkosť ${\displaystyle \left|S(\omega )\right|}$ sa nazýva amplitúdové spektrum a uhol ${\displaystyle {\mbox{arg}}\,S(\omega )}$ fázové spektrum signálu.

• Diskrétna Fourierova transformácia .