Asociativita

Binární operace ∗ (tj. nějaká operace zastoupená obecným znakem ∗) je na množině S asociativní, jestliže platí

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

pro každé x, y a z v S.

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)

(7×3)×2 = 21×2 = 42 = 7×6 = 7×(3×2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (a^b) čísel nebo vektorové násobení vektorů.

${\displaystyle 2-(3-1)=0\quad \neq \quad -2=(2-3)-1}$.

${\displaystyle 2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad 64=4^{3}=(2^{2})^{3}}$

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, ${\displaystyle 2^{3^{4}}=2^{\left(3^{4}\right)}}$ (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: ${\displaystyle (2^{3})^{4}=2^{3\cdot 4}}$).

Asociativita operace je důležitá, protože umožňuje nepoužívat závorky a např. zavést mocniny s přirozeným mocnitelem.