Vnitřní automorfismus

Je-li G grupa (nebo okruh) a g je prvek G (jestliže je G okruh, pak g musí být jednotka), pak se funkce

${\displaystyle \varphi _{g}:G\longrightarrow G}$

${\displaystyle \varphi _{g}:x\mapsto g^{-1}xg}$

nazývá (pravá) konjugace podle g (viz konjugační třída). Tato funkce je homomorfismus G: pro všechny ${\displaystyle a,b\in G}$ platí:

${\displaystyle \varphi _{g}(ab)=g^{-1}abg=(g^{-1}ag)(g^{-1}bg)=\varphi _{g}(a)\varphi _{g}(b),}$

kde druhá rovnost je dána vložením identity mezi ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b.}$ Dále má toto zobrazení levou i pravou inverzi, totiž ${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.}$ Tím pádem je ${\displaystyle \varphi _{g}}$ bijekcí, a tedy i izomorfismem z G na sebe sama, tj. automorfismem. Vnitřní automorfismus je jakýkoliv automorfismus, který vzniká z konjugace. [1]

V případě pravé konjugace se výraz ${\displaystyle g^{-1}xg}$ často značí pomocí mocniny: ${\displaystyle x^{g}.}$ Tento zápis se používá, protože složení konjugací je asociativní: ${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab},}$ pro všechna ${\displaystyle a,b\in G.}$ To ukazuje, že konjugace určuje pravé působení G na sebe samotné.

Složení dvou vnitřních automorfismů je opět vnitřním automorfismem a pod touto operací tvoří soubor všech vnitřních automorfismů grupy G grupu vnitřních automorfismů G, značenou Inn(G).

Inn(G) je normální podgrupa celé grupy automorfismů Aut(G). Grupa vnějších automorfismů, Out(G), je podílová grupa

Out(G) ≡ Aut(G)/Inn(G).

Grupa vnějších automorfismů v určitém smyslu měří, kolik automorfismů G není vnitřních. Každý nevnitřní automorfismus dává vzniknout netriviálnímu prvku Out(G), ale různé nevnitřní automorfismy mohou dát stejný prvek Out(G).

Tvrzení, že konjugace x podle a ponechá x nezměněno, je ekvivalentní k tvrzení, že a a x komutují:

a⁻¹xa = x ⇔ ax = xa.

Existence a počet vnitřních automorfismů, které nejsou identitou, je tedy v určitém smyslu měrou selhání komutativního zákona v dané grupě (nebo okruhu).

Automorfismus grupy G je vnitřní, právě když jej lze rozšířit na každou grupu obsahující G. [2]

Propojením prvku a ∈ G s vnitřním automorfismem f(x) = x^a v Inn(G), jak je uvedeno výše, se získá izomorfismus mezi podílovou grupou G/Z(G) (kde Z(G) je centrum G) a grupou vnitřních automorfismů:

G/Z(G) = Inn(G).

To je důsledek první věty o izomorfismu, neboť Z(G) je souborem právě těch prvků G, které jako odpovídající vnitřní automorfismus udávají identické zobrazení (konjugace nemá vliv).

Automorfismus Lieovy algebry 𝔊 je nazýván vnitřním automorfismem, jestliže je tvaru Ad_g, kde Ad je adjungované zobrazení a g je prvek Lieovy grupy, jejíž Lieova algebra je 𝔊. Pojem vnitřního automorfismu je pro Lieovy algebry kompatibilní s tím grupovým v tom smyslu, že vnitřní automorfismus Lieovy grupy udává jedinečný vnitřní automorfismus odpovídající Lieovy algebry.

Jestliže je G grupa jednotek okruhu A, pak může být vnitřní automorfismus nad G rozšířen na zobrazení nad projektivní přímkou nad A grupou jednotek maticového okruhu M₂(A). Tímto způsobem lze rozšířit zejména vnitřní automorfismy klasických grup.