Centrum grupy

Centrem grupy ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ myslíme množinu ${\displaystyle \{h\in G|\forall g\in G:g\odot h=h\odot g\}.}$ Tedy množinu všech prvků z ${\displaystyle G}$, které s každým prvkem z ${\displaystyle G}$ vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit ${\displaystyle Z(G)}$.

Nechť ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ je grupa. Pak ${\displaystyle Z(G)\trianglelefteq G}$ (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Nosič ${\displaystyle G}$ každé grupy ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ může být zapsán takto: ${\displaystyle G=Z(G)\cup ^{disj.}\bigcup _{h\in I}^{disj.}O_{h}}$, kde ${\displaystyle O_{h}}$ je orbita prvku ${\displaystyle h\in G}$ vzhledem k vnitřnímu automorfismu a ${\displaystyle I}$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy ${\displaystyle G}$.

Je-li ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ konečná grupa, pak ${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{h\in I}[G:C_{h}]}$, kde ${\displaystyle I}$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle [G:C_{h}]}$ je index stabilisátoru prvku ${\displaystyle h}$.

Nechť ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ je grupa řádu ${\displaystyle |G|=p^{n}}$, kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo a ${\displaystyle 0<n\in \mathbb {N} }$. Pak ${\displaystyle |Z(G)|>1}$.

Ať ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ je grupa řádu ${\displaystyle p^{2}}$, kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo. Pak ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ je komutativní a buď ${\displaystyle {\mathcal {G}}\backsimeq \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ nebo ${\displaystyle {\mathcal {G}}\backsimeq \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

• Normální podgrupa
• Akce grupy na množině
• Orbita
• Grupa

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)