Rozšířená reálná čísla

Pojem „${\displaystyle \varepsilon -\,\!}$ okolí bodu ${\displaystyle x\,\!}$“ je označován ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)\,\!}$ a má tuto definici:

Pro každé ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!}$ a ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}\,\!}$ je

• ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\,\!}$ pokud ${\displaystyle x\in R\,\!}$
• ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=\left\langle -\infty ,-{1 \over \varepsilon }\right)\,\!}$ pokud ${\displaystyle x=-\infty \,\!}$
• ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=\left({1 \over \varepsilon },+\infty \right\rangle \,\!}$ pokud ${\displaystyle x=+\infty \,\!}$

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako ${\displaystyle P_{\varepsilon }(x)=U_{\varepsilon }(x)-\{x\}\,\!}$.

Na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}$ lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na ${\displaystyle \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ^{*}\,\!}$) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení ${\displaystyle d(x,y)=|\operatorname {arctan} (x)-\operatorname {arctan} (y)|\,\!}$, pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že ${\displaystyle \operatorname {arctan} (+\infty )={\pi \over 2}\,,\operatorname {arctan} (-\infty )=-{\pi \over 2}\,\!}$.

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti ${\displaystyle a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!}$ pro konečné i nekonečné ${\displaystyle a}$ .

Budiž ${\displaystyle a_{n}\,\!}$ posloupnost reálných čísel a ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}\,\!}$. Řekneme, že ${\displaystyle a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!}$, pokud

${\displaystyle (\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{*})(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n>n_{0})a_{n}\in U_{\epsilon }(a)\,\!}$

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné ${\displaystyle x_{0}}$ a ${\displaystyle y}$:

Je-li ${\displaystyle f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!}$ funkce, ${\displaystyle y\in R^{*}}$ a ${\displaystyle x_{0}\in R^{*}}$ takové, že ${\displaystyle x_{0}}$ leží v uzávěru ${\displaystyle D_{f}\,\!}$ ( definiční obor ${\displaystyle D_{f}\,\!}$ sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na ${\displaystyle R^{*}}$ – může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

${\displaystyle y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\iff \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+}:f[P_{\delta }(x_{0})]\subseteq P_{\epsilon }(f(x_{0}))\,\!}$

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí ${\displaystyle U_{1}}$ bodu ${\displaystyle y}$ existuje prstencové okolí ${\displaystyle P_{2}}$ bodu ${\displaystyle x_{0}}$ takové, že obraz ${\displaystyle P_{2}}$ leží v ${\displaystyle U_{1}}$ (tj. ${\displaystyle f[P_{2}]\subseteq U_{1}\,\!}$).

_{Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby ${\displaystyle U_{\epsilon }(x)\subseteq U_{1}\,\!}$. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci ${\displaystyle \delta }$ s příslušnou vlastností; poté ${\displaystyle P_{2}}$ zvolme jako ${\displaystyle P_{\delta }(x)}$. Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme ${\displaystyle U_{1}=U_{\epsilon }(x)}$ a ${\displaystyle \delta }$ zvolíme tak, aby ${\displaystyle P_{\delta }(x)\subseteq P_{2}}$.}