Věty o dimenzi

Pokud je ${\displaystyle \scriptstyle P}$ podprostor prostoru ${\displaystyle \scriptstyle Q}$, tj. ${\displaystyle \scriptstyle P\subset \subset Q}$, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak ${\displaystyle \scriptstyle Q=P+Q}$, ${\displaystyle \scriptstyle P=P\cap Q}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \dim P=\dim(P\cap Q)}$, ${\displaystyle \scriptstyle \dim Q=\dim(P+Q)}$. Totožně by se postupovalo, byl-li by ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ podprostorem ${\displaystyle \scriptstyle P}$. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q=\{{\vec {0}}\}}$ a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť ${\displaystyle \scriptstyle \dim(P\cap Q)=n\ <\ +\infty }$. V ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q}$ tedy existuje ${\displaystyle \scriptstyle n}$-členná báze ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$. Nechť ${\displaystyle \scriptstyle \dim P=p\ <\ +\infty }$ a ${\displaystyle \scriptstyle \dim Q=q\ <\ +\infty }$. Je zřejmé, že ${\displaystyle \scriptstyle n<p,n<q}$. Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q\subset P}$ a ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q\subset Q}$, lze zřejmě doplnit bázi průniku ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q}$ jednak na bázi prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$, jednak na bázi prostoru ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Označme bázi prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a prostoru ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ po řadě

${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{P},\ldots ,{\vec {e}}_{p-n}^{P}\},\quad \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{Q},\ldots ,{\vec {e}}_{q-n}^{Q}\},}$

kde jsme vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{i}^{P}}$, resp. ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {e}}_{i}^{Q}}$, doplnily bázi průniku na bázi prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$, resp. ${\displaystyle \scriptstyle Q}$.

Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle P+Q}$ (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n},{\vec {e}}_{1}^{P},\ldots ,{\vec {e}}_{p-n}^{P},{\vec {e}}_{1}^{Q},\ldots ,{\vec {e}}_{q-n}^{Q}\}}$

je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor ${\displaystyle \scriptstyle P+Q}$ a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor

${\displaystyle {\vec {0}}=\alpha _{1}{\vec {e}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {e}}_{n}+\beta _{1}{\vec {e}}_{1}^{P}+\ldots +\beta _{p-n}{\vec {e}}_{p-n}^{P}+\gamma _{1}{\vec {e}}_{1}^{Q}+\ldots +\gamma _{q-n}{\vec {e}}_{q-n}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}.}$

Chceme ukázat, že všechny koeficienty ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i},\gamma _{i}}$ už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}=-\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}.}$

Na levé straně máme vektor z prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$, na druhé straně rovnosti pak vektor z ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q}$. Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i},}$

pro jisté koeficienty ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\alpha }}_{i}}$. Dostáváme tak dvě rovnosti

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}=\sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i},\quad \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i}=-\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q},}$

které si můžeme zapsat způsobem

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(\alpha _{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}){\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{p-n}\beta _{i}{\vec {e}}_{i}^{P}={\vec {0}},\quad \sum _{i=1}^{n}{\tilde {\alpha }}_{i}{\vec {e}}_{i}+\sum _{i=1}^{q-n}\gamma _{i}{\vec {e}}_{i}^{Q}={\vec {0}}.}$

První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$ rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Máme tedy

${\displaystyle (\forall i\in \{1,\ldots ,n\})(\alpha _{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}=0)\ \wedge \ (\forall i\in \{1,\ldots ,p-n\})(\beta _{i}=0),\quad (\forall i\in \{1,\ldots ,n\})({\tilde {\alpha }}_{i}=0)\ \wedge \ (\forall i\in \{1,\ldots ,q-n\})(\gamma _{i}=0).}$

Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {E}}}$ je bází prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P+Q}$. Protože tato báze obsahuje ${\displaystyle \scriptstyle n+(p-n)+(q-n)}$ vektorů, máme ${\displaystyle \scriptstyle \dim(P+Q)=p+q-n}$. Celkově

${\displaystyle \dim(P+Q)+\dim(P\cap Q)=(p+q-n)+n=p+q=\dim P+\dim Q,}$

což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q=\{{\vec {0}}\}}$. (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ je direktní.) Platí tedy ${\displaystyle \scriptstyle \dim(P\cap Q)=0}$. Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že ${\displaystyle \scriptstyle \dim(P+Q)=p+q=\dim P+\dim Q.}$

Uvažujme vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{5}}$ s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru

${\displaystyle P=\left\{{\begin{pmatrix}2\\0\\3\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\\3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\2\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}},\quad Q=\left\{{\begin{pmatrix}3\\1\\3\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\3\\0\\0\end{pmatrix}}\right\}_{\text{lin}}.}$

Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu ${\displaystyle \scriptstyle P}$ (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$ je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Z první věty o dimenzi plyne, že

${\displaystyle \dim P+\dim Q=3+3=6=\dim(P+Q)+\dim(P\cap Q).}$

Protože je ale součet ${\displaystyle \scriptstyle P+Q}$ stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{5}}$, nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik ${\displaystyle \scriptstyle P\cap Q}$ je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a současně v ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$, aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.

Označme si ${\displaystyle \scriptstyle \dim P=n}$. Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině ${\displaystyle \scriptstyle A(P)}$ (tj. vzoru prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$ při zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle A}$) bylo více než ${\displaystyle \scriptstyle n}$ lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$, což je spor s tím, že dimenze ${\displaystyle \scriptstyle P}$ je ${\displaystyle \scriptstyle n}$. Dimenze obrazu zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle A}$ je tedy konečná a není větší než ${\displaystyle \scriptstyle n}$. Označme si tuto dimenzi jako ${\displaystyle \scriptstyle k}$. V ${\displaystyle \scriptstyle A(P)}$ tedy existuje ${\displaystyle \scriptstyle k}$-členná báze, označme si bazické vektory jako ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1},\ldots ,{\vec {y}}_{k}}$. Vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{i}}$ z prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$ takové, že ${\displaystyle \scriptstyle (\forall i\in \{1,\ldots ,k)(A{\vec {x}}_{i}={\vec {y}}_{i})}$ (tj. vzory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i}}$ při zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle A}$) tvoří ${\displaystyle \scriptstyle k}$-člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v ${\displaystyle \scriptstyle P}$. Jejich lineární obal tedy tvoří ${\displaystyle \scriptstyle k}$-rozměrný podprostor prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$, označme si ho jako ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Platí tedy ${\displaystyle \scriptstyle Q\subset \subset P}$, kde

${\displaystyle Q=\{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{k}\}_{\text{lin}}.}$

Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj. ${\displaystyle \scriptstyle \ker A\subset \subset P}$. Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru ${\displaystyle \scriptstyle P}$ a že tento součet je navíc direktní. Neboli

${\displaystyle \ker A\oplus Q=P.}$

Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že ${\displaystyle \scriptstyle \ker A+Q\subset P}$. To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in P}$ a najděme jeho rozklad do podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle \ker A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$. Hledáme tedy vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {q}}\in Q}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}\in \ker A}$ takové, že ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}={\vec {q}}+{\vec {r}}}$. Protože ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}$ má ležet v jádru ${\displaystyle \scriptstyle A}$, platí ${\displaystyle \scriptstyle A{\vec {x}}\ =\ A{\vec {q}}\ \in A(P)}$. Existují tedy koeficienty z tělesa ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}}$ takové, že

${\displaystyle A{\vec {x}}=A{\vec {q}}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {y}}_{i}.}$

Navíc ${\displaystyle \scriptstyle A{\vec {x}}_{i}={\vec {y}}_{i}}$, takže

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {y}}_{i}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}A{\vec {x}}_{i}=A\left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {x}}_{i}\right).}$

Za vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {q}}}$ tedy můžeme zvolit

${\displaystyle {\vec {q}}\equiv \sum _{i=1}^{k}\alpha _{k}{\vec {x}}_{i}.}$

Vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}}$ pak vznikne jako rozdíl

${\displaystyle {\vec {r}}\equiv {\vec {x}}-{\vec {q}}.}$

Pro libovolný vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in P}$ jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle \ker A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$.

Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle \ker A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ leží jen nulový vektor, tj. ${\displaystyle \scriptstyle \ker A\cap Q=\{{\vec {0}}\}}$. Vezměme tedy nějaký vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ z průniku ${\displaystyle \scriptstyle \ker A\cap Q}$. Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in \ker A\cap Q}$, je určitě ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in Q}$. Existuje tedy ${\displaystyle \scriptstyle k}$-tice koeficientů ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ z tělesa taková, že

${\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}{\vec {x}}_{i}.}$

Protože je ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ současně z jádra ${\displaystyle \scriptstyle \ker A}$, tak

${\displaystyle A{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}A{\vec {x}}_{i}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{k}{\vec {y}}_{i}=0.}$

Neboť jsou vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{i}}$ lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{i}}$ nulové a platí tedy ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\ =\ {\vec {0}}}$.

Zatím jsme tedy dokázali rovnost

${\displaystyle \ker A\oplus Q=P.}$

Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá

${\displaystyle \dim \ker A+\dim Q=\dim(\ker A\oplus Q)=\dim P.}$

Podprostor ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ má ale stejnou dimenzi jako množina ${\displaystyle \scriptstyle A(P)}$. Dostali jsme tedy tvrzení věty.

Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a k němu prostor duální, nechť ${\displaystyle \scriptstyle \dim V=n}$. Mějme ${\displaystyle \scriptstyle f}$, funkcionál z duálního prostoru, a nechť ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ je vektor takový, že ${\displaystyle \scriptstyle f({\vec {x}})=1}$. Protože ${\displaystyle \scriptstyle f}$ je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, ${\displaystyle \scriptstyle \dim \mathbb {R} =1}$. Neboť je ${\displaystyle \scriptstyle f}$ zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu ${\displaystyle \scriptstyle f}$ je

${\displaystyle \dim \ker f=\dim V-\dim {\text{ran}}\,f=n-1.}$

Jádro zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle f}$ tedy tvoří ${\displaystyle \scriptstyle (n-1)}$-rozměrný podprostor prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které ${\displaystyle \scriptstyle f}$ nedá nulu, jsou násobky vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$, neboli jeho lineární obal ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {x}}\}_{\text{lin}}}$.