Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu
Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.
Rolleova věta
Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:
- Nechť funkce je spojitá na intervalu , má derivaci v každém bodě intervalu a platí . Pak existuje bod takový, že .
Geometrický význam
Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu bod, v němž je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou x.
Fyzikální význam
Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:
- Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.
Lagrangeova věta o střední hodnotě
Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:
- Nechť funkce je spojitá na intervalu a má v každém bodě intervalu derivaci. Pak existuje bod takový, že platí .
Protože je derivace v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit že pro platí:
- je v tomto bodě rostoucí
- je v tomto bodě klesající
Geometrický význam
Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu existuje bod , v němž je tečna k funkci rovnoběžná s přímkou vedenou body a .
Fyzikální význam
Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:
- Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.
Zobecnění
Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:
- Nechť funkce jsou spojité na intervalu , mají v každém bodě intervalu vlastní derivaci a nechť pro všechna platí . Pak existuje bod takový, že platí .
Důkaz
Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou . Protože pro všechna , je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci
.
Funkce je zřejmě spojitá na intervalu , má derivaci na intervalu a . splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy takové, že
Dle předpokladu je a tedy
.
Související články
- Věta o střední hodnotě integrálního počtu
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu na Wikimedia Commons