Rolleova věta

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ existuje derivace ${\displaystyle f'\left(x\right)}$ a nechť ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)}$. Pak existuje bod c v otevřeném intervalu ${\displaystyle \left(a,b\right)}$, pro nějž platí

${\displaystyle f'\left(c\right)=0}$.

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace ${\displaystyle f'\left(x\right)=0,\forall x\in \left(a,b\right)}$ a věta je dokázána.
2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)}$ a funkce není konstantní, musí existovat ${\displaystyle d\in \left(a,b\right)}$ takové, že ${\displaystyle f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)}$ nebo ${\displaystyle f\left(d\right)<f\left(a\right)=f\left(b\right)}$. Předpokládejme, že ${\displaystyle f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)}$.

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje ${\displaystyle d\in \left(a,b\right)}$ takové, že ${\displaystyle f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)}$, tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, ${\displaystyle f'\left(c\right)=0}$.

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematik Bháskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rolle's theorem na anglické Wikipedii.

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu
• Cauchyova věta o střední hodnotě

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Rolleova věta na Wikimedia Commons