Rychlost

• Značka: ${\displaystyle \mathbf {v} }$, popř. ${\displaystyle v}$ pro velikost rychlosti (z anglického velocity)

• Hlavní jednotka SI: metr za sekundu, m·s⁻¹ , m/s.
• Další používané jednotky: V běžné praxi (rychlost dopravních prostředků, větru apod.) se používá kilometr za hodinu, km/hod., km·h⁻¹ (1 m·s⁻¹ = 3,6 km·h⁻¹), v (některých) anglicky mluvících zemích je namísto něho běžná míle za hodinu
• V námořní praxi a v letectví se užívá jednotka uzel (anglicky „knot“, zkratka „kn“ nebo „kt“), což je námořní míle za hodinu
• Vzhledem k vysokým rychlostem astronomických objektů se v astronomii někdy používá tisícinásobek hlavní jednotky SI: kilometr za sekundu. km/s.

Od okamžité rychlosti se průměrná rychlost liší tak, že je definována jako celková vzdálenost uražená za určitý čas. Např. pokud je vzdálenost 80 kilometrů ujetá za 1 hodinu, pak je průměrná rychlost 80 kilometrů za hodinu. Podobně, pokud je 320 kilometrů ujeto za 4 hodiny, je průměrná rychlost opět 80 kilometrů za hodinu. Pokud je vzdálenost v kilometrech (km) vydělena časem v hodinách (h), výsledkem jsou kilometry za hodinu (km/h). Průměrná rychlost nepopisuje změny rychlosti, které mohly nastat v kratších časových intervalech (protože průměrná rychlost je celková vzdálenost dělená celkovým časem cesty). Takže průměrná rychlost se značně liší od okamžité rychlosti. Průměrná rychlost se vypočítá:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\mathbf {s} \over t}}$,

nebo exaktněji

${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\mathbf {r} \left(t_{1}\right)-\mathbf {r} \left(t_{2}\right)}{t_{1}-t_{2}}}}$.

Okamžitá rychlost je rychlost v daném časovém okamžiku. Jelikož je časový okamžik nekonečně krátký, vypočte se okamžitá rychlost jako první derivace dráhy podle času, tedy limitním přechodem od průměrné rychlosti:

${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{t_{1}\to t_{2}}{\frac {\mathbf {r} \left(t_{1}\right)-\mathbf {r} \left(t_{2}\right)}{t_{1}-t_{2}}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}={\mathrm {d} \mathbf {s} \over \mathrm {d} t}}$.

Při pohybu po kružnici se k vyjádření rychlosti používají dvě různé veličiny – obvodová rychlost a úhlová rychlost, které se odlišují rozměrem i jednotkami.

Při určování rychlosti v relativistické mechanice se postupuje podobně jako u klasické (nerelativistické) rychlosti.

Pro hmotný bod, který se pohybuje prostorem, lze rychlost ve vztažné soustavě S vyjádřit složkami

${\displaystyle v_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle v_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle v_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$

Ve vztažné soustavě S' budou složky rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }}$ tohoto hmotného bodu vůči soustavě S' mít následující složky

${\displaystyle v_{x}^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x^{\prime }}{\mathrm {d} t^{\prime }}}}$

${\displaystyle v_{y}^{\prime }={\frac {\mathrm {d} y^{\prime }}{\mathrm {d} t^{\prime }}}}$

${\displaystyle v_{z}^{\prime }={\frac {\mathrm {d} z^{\prime }}{\mathrm {d} t^{\prime }}}}$

Toto vyjádření je stejné jako v klasické mechanice. Rozdíl však spočívá v tom, že jednotlivé souřadnice (prostorové i časové) se v teorii relativity transformují odlišně než v klasické fyzice.

Předpokládejme, že soustava S' se vůči soustavě S pohybuje konstantní rychlostí ${\displaystyle w}$, Přičemž pohyb probíhá podél os x, x' , které vzájemně splývají.

Složky rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }}$ lze vyjádřit prostřednictvím speciální Lorentzovy transformace. Jejich diferencováním dostaneme

${\displaystyle \mathrm {d} x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x-w\mathrm {d} t}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} y^{\prime }=\mathrm {d} y}$

${\displaystyle \mathrm {d} z^{\prime }=\mathrm {d} z}$

${\displaystyle \mathrm {d} t^{\prime }={\frac {\mathrm {d} t-{\frac {w}{c^{2}}}\mathrm {d} x}{\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dosazením dostaneme transformační vztahy pro složky relativistické rychlosti

${\displaystyle v_{x}^{\prime }={\frac {v_{x}-w}{1-{\frac {wv_{x}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{y}^{\prime }=v_{y}{\frac {\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {wv_{x}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{z}^{\prime }=v_{z}{\frac {\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {wv_{x}}{c^{2}}}}}}$

Tyto vztahy představují relativistickou transformaci rychlosti.

Pro malá ${\displaystyle w}$ ve srovnání s rychlostí světla ${\displaystyle c}$, tzn. ${\displaystyle {\frac {w}{c}}\to 0}$, přechází tyto vztahy ve vztahy pro klasickou (nerelativistickou) transformaci rychlosti

${\displaystyle v_{x}^{\prime }=v_{x}-w}$

${\displaystyle v_{y}^{\prime }=v_{y}}$

${\displaystyle v_{z}^{\prime }=v_{z}}$

Vyjádření rychlosti v soustavě S prostřednictvím složek rychlosti v soustavě S' získáme záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin a záměnou znaménka u rychlosti ${\displaystyle w}$, tzn.

${\displaystyle v_{x}={\frac {v_{x}^{\prime }+w}{1+{\frac {wv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{y}=v_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {wv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{z}=v_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {wv_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}}}$

Jedním z důsledků uvedených transformačních vztahů je skutečnost, že rychlost světelného paprsku bude ve všech inerciálních vztažných soustavách stejná, což odpovídá druhému postulátu speciální teorie relativity. Máme-li totiž v soustavě S světelný paprsek pohybující se rychlostí světla ${\displaystyle c}$ ve směru osy x, tzn. ${\displaystyle v_{x}=c}$, dostaneme pro rychlost stejného paprsku v soustavě S'

${\displaystyle v_{x}^{\prime }={\frac {c-w}{1-{\frac {wc}{c^{2}}}}}=c}$

Dalším z důsledků těchto transformačních vztahů je také skutečnost, že pokud je rychlost v menší než rychlost světla ${\displaystyle c}$, bude menší než rychlost světla ve všech inerciálních vztažných soustavách. Např. pokud se v soustavě S' pohybuje hmotný bod rychlostí ${\displaystyle v_{x}^{\prime }=0{,}9c}$ ve směru osy x a samotná soustava S' se pohybuje vzhledem k soustavě S rychlostí ${\displaystyle w=0{,}8c}$ ve stejném směru, byla by podle klasické mechaniky rychlost pohybu hmotného bodu v soustavě S rovna ${\displaystyle v_{x}=1{,}7c}$, což je rychlost vyšší než rychlost světla ${\displaystyle c}$. Relativistická mechanika však dojde k hodnotě ${\displaystyle v_{x}={\frac {0{,}9c+0{,}8c}{1+{\frac {(0{,}8c)(0{,}9c)}{c^{2}}}}}=0{,}988\,4c<c}$.

Rychlost ${\displaystyle w}$ vzhledem k rychlosti světla ${\displaystyle c}$ se označuje za podsvětelnou, je-li ${\displaystyle w<c}$, světelnou (rychlost světla), je-li ${\displaystyle w=c}$, nebo nadsvětelnou při ${\displaystyle w>c}$.

V angličtině se někdy nesprávně zaměňují slova speed a velocity[1] – speed je skalární veličina, zatímco velocity je veličina vektorová, tj. speed uvádí pouze rychlost, zatímco velocity i směr, kterým se těleso pohybuje.[2]