Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li ${\mathcal {H}}$ a ${\mathcal {K}}$ Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru $T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}$ sdruženým operátorem $T^{*}:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ , nazveme takový operátor, který splňuje: $\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle \quad \forall x\in {\mathcal {H}},y\in {\mathcal {K}}.$

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení $A^{\dagger }$ , ve fyzice někdy $A^{+}$ .

Vlastnosti

Základní vlastnosti

$T^{**}=T$
$(S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}$
$(ST)^{*}=T^{*}S^{*}$
$(\lambda T)^{*}={\overline {\lambda }}T^{*}$
Je-li $T$ invertibilní, tak: $(T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}$
V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu

\|T\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Tx\|

Tak platí:

\|T\|=\|T^{*}\|

A navíc:

\|T^{*}T\|=\|T\|^{2}

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj:

\operatorname {Ker} \ T^{*}=(\operatorname {Im} \ T)^{\bot }

(\operatorname {Ker} \ T^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {Im} \ T}}

Prvá rovnost platí protože:

{\begin{aligned}T^{*}x=0&\iff \langle T^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff \langle x,Ty\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {Im} \ T\end{aligned}}

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.