Ultrafiltr
Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.
Definice
Je-li množina a její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina je ultrafiltr, pokud platí:
- neobsahuje prázdnou množinu
Vysvětlení definice
Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina – jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr – ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina
Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina nebo její doplněk . Pokud by pro některou množinu obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální – jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.
Zjednodušeně řečeno, ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina – její doplněk vybírá právě jednu možnost.
Příklady a vlastnosti
Triviální ultrafiltr
Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny , hlavní filtr určený množinou tedy lze zapsat jako
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry – jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou , kde . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.
Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální – celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny .
Uniformní ultrafiltr
Ultrafiltr na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.
Základní věta o ultrafiltrech
Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.
Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.
Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality – větu nelze dokázat bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.
Dualita s prvoideálem
Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem – prvoideál. Ke každému ultrafiltru existuje duální prvoideál – množina všech doplňků z :
Vztah platí i opačně – množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr – duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
