Dolní a horní množina

Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R a B je podmnožina A.
Řekneme, že B je dolní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny menší prvky množiny A, tj.
${\displaystyle (\forall a,b\in A)((b\in B\land a\leq _{R}b)\implies a\in B)}$
Řekneme, že B je horní množina, pokud s každým svým prvkem obsahuje i všechny větší prvky množiny A, tj.
${\displaystyle (\forall a,b\in A)((b\in B\land b\leq _{R}a)\implies a\in B)}$

Uvažujme množinu ${\displaystyle R\,\!}$ všech reálných čísel s jejím běžným uspořádáním podle velikosti.

• Horní množiny na ${\displaystyle R\,\!}$ jsou právě všechny shora neomezené intervaly (ať již zdola otevřené nebo uzavřené).
• Dolní množiny na ${\displaystyle R\,\!}$ jsou právě všechny zdola neomezené intervaly (ať již shora otevřené nebo uzavřené).

Uvažujme množinu ${\displaystyle Z^{+}\,\!}$ všech celých kladných čísel částečně uspořádanou relací S = { [a,b] : a dělí b }.

• Každá dolní množina musí obsahovat číslo 1, protože 1 dělí každé číslo, takže ${\displaystyle (\forall x)(1\leq _{S}x)\,\!}$.
• Ze stejného důvodu existuje pouze jedna horní množina, která obsahuje číslo 1 - je to celá množina ${\displaystyle Z^{+}\,\!}$. Platí totiž, že 1 dělí každé kladné celé číslo a pokud má horní množina obsahovat jedničku, musí obsahovat i všechna čísla, která jsou dělitelná jedničkou.
• Množina obsahující pouze číslo 1 a nějaká prvočísla je dolní množina (například {1,3,5,13}, ale také nekonečná množina obsahující číslo 1 a všechna prvočísla).
• Množina obsahující všechna čísla ze ${\displaystyle Z^{+}\,\!}$ kromě čísel 1,2,3,4 a 11 je horní množina.
• Zajímavé je, že množina všech sudých čísel je horní množina v ${\displaystyle Z^{+}\,\!}$ — s každým číslem obsahuje i všechny jeho násobky. Naproti množina všech lichých čísel je dolní množina v ${\displaystyle Z^{+}\,\!}$ — s každým číslem obsahuje i všechny jeho dělitele. V tomto příkladě je dobře vidět, jak moc záleží na tom, jaké zvolíme uspořádání. Kdybychom místo dělitelnosti zvolili běžné uspořádání podle velikosti, pak množina sudých čísel rozhodně nebude horní a množina lichých čísel rozhodně nebude dolní (na to by byly příliš „děravé“).

• Filtr
• Ideál
• Nejmenší a největší prvek
• Uspořádání