Totálně unimodulární matice

Totálně unimodulární matice je typem polynomiálním matice. Mezi nimi má výsadní postavení matice:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1&0&0&1\\1&-1&1&0&0\\0&1&-1&1&0\\0&0&1&-1&1\\1&0&0&1&-1\\\end{bmatrix}}}$

Fakt: V unimodulární matici se mohou vyskytovat pouze čísla -1,0 a 1. Protože i determinanty jednotlivých prvků matice musí být -1,0 nebo 1, může se matice skládat pouze z těchto čísel. Ovšem ne každá matice skládající se z těchto čísel je totálně unimodulární!

Fakt: Inverzí matice k regulární totálně unimodulární matici je celočíselná matice.

Fakt: Totálně unimodulární matice jsou uzavřené na

• permutaci řádků
• transpozici
• vynásobení řádku koeficientem ${\displaystyle -1}$
• přidání/vynechání řádku s jediným nenulovým prvkem
• přidání/vynechání nulového řádku

Fakt: Souvislost totálně unimodulární matice a matice incidence grafu

• Incidenční matice orientovaného grafu je totálně unimodulární
• Incidenční matice neorientovaného grafu je totálně unimodulární právě když je graf bipartitní

Věta: Dvě polynomiální matice odpovídajících rozměrů jsou nesoudělné, když všechny jejich největší společní dělitelé jsou unimodulární matice.

Důkaz:

Věta: Pro lineární program ${\displaystyle max\{c^{T}x\}}$, kde ${\displaystyle x}$ splňuje ${\displaystyle A.x\leq b}$, kde ${\displaystyle A}$ je totálně unimodulární matice a ${\displaystyle b,c}$ jsou celočíselné vektory odpovídajících rozměrů, platí: všechny vrcholy mnohostěnu určeného nerovnicemi jsou celočíselné a optimum lineárního programu je též celočíselné.

Důkaz: Z Cramerova pravidla.

Věta: Nechť ${\displaystyle A\in \{0,1,-1\}^{n\times m}}$ má v každém sloupci nejvýše dva nenulové prvky. Pak ${\displaystyle A}$ je totálně unimodulární právě když existuje ${\displaystyle A'}$ taková, že ${\displaystyle A'}$ vznikla přenásobením některých řádků ${\displaystyle A}$ koeficientem ${\displaystyle -1}$ a všechny sloupcové součty leží v ${\displaystyle \{0,1,-1\}}$.

Důkaz:

• ${\displaystyle \Longleftarrow }$ ${\displaystyle A'}$ je totálně unimodulární, protože z Laplacovy metody ${\displaystyle det(A)=0}$
• ${\displaystyle \Longrightarrow }$ obměnou - pokud ${\displaystyle A'}$ nejde z ${\displaystyle A}$ vytvořit (výše popsaným pravidlem), potom není totálně unimodulární (vždy obsahuje podmatici ${\displaystyle B}$ takovou, že ${\displaystyle det(B)=2}$

Velký význam má v úlohách celočíselného programování, kde pro výpočet řešení umožňuje použít jednodušší algoritmy obecného lineárního programování.