Vedení tepla

Ustálené vedení tepla lze demonstrovat např. na tyči délky ${\displaystyle d}$, jejíž jeden konec je udržován na teplotě ${\displaystyle t_{1}}$ a druhý konec je udržován na teplotě ${\displaystyle t_{2}}$. Teplotní rozdíl ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ je tedy stálý, teplota klesá rovnoměrně od teplejšího konce k chladnějšímu. Podíl

${\displaystyle {\frac {t_{2}-t_{1}}{d}}}$

se nazývá teplotní spád (gradient) (K/m, °C/m).

Množství tepla ${\displaystyle Q}$, které za těchto podmínek projde libovolným kolmým průřezem ${\displaystyle S}$ tyče za dobu ${\displaystyle \tau }$, je roven

${\displaystyle Q=\lambda S{\frac {t_{2}-t_{1}}{d}}\tau }$.

Konstanta úměrnosti ${\displaystyle \lambda }$ je součinitel tepelné vodivosti (tepelná vodivost).

Teplo procházející plochou určuje tzv. tepelný tok. Množství tepla ${\displaystyle Q}$, které projde plochou ${\displaystyle S}$ za čas ${\displaystyle \tau }$, se nazývá hustota tepelného toku a lze ho vyjádřit rovnicí

${\displaystyle q={\frac {Q}{\tau S}}}$.

Podle předchozích vztahů tedy při ustáleném stavu platí

${\displaystyle q=\lambda {\frac {t_{2}-t_{1}}{d}}}$.

Pokud tloušťku vrstvy (tedy délku tyče) ${\displaystyle d}$ zmenšíme na ${\displaystyle \mathrm {d} x}$, změní se na této tenké vrstvě teplota o ${\displaystyle -\mathrm {d} t}$. Vztah pro hustotu tepelného toku můžeme tedy přepsat na tvar

${\displaystyle q=-\lambda {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}}$.

Teplota se však může měnit nejen ve směru osy ${\displaystyle x}$, ale také v ostatních směrech. Teplotní gradient a hustota tepelného toku jsou tedy vektorové veličiny, takže výše uvedenou rovnici lze s pomocí operátoru gradientu upravit na tvar

${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \operatorname {grad} \,t}$.

Tento vztah bývá také označován jako Fourierův zákon.

Z tohoto vztahu je vidět, že průběh teploty v rovinné desce je při ustáleném proudění tepla lineární.

Předchozí vztahy lze využít při řešení problému průchodu tepla rozhraním.

Pokud se těleso (např. deska), kterým teplo prostupuje, skládá z ${\displaystyle n}$ vrstev o různé tepelné vodivosti ${\displaystyle \lambda _{i}}$ a tloušťce ${\displaystyle d_{i}}$ pro ${\displaystyle i}$-tou vrstvu, ${\displaystyle i=1,2,...,n}$, pak za ustáleného stavu musí být hustota tepelného proudu ve všech vrstvách stejná, tzn.

${\displaystyle q={\frac {\lambda _{1}}{d_{1}}}(t_{1}-t_{2})={\frac {\lambda _{2}}{d_{2}}}(t_{2}-t_{3})=\cdots ={\frac {\lambda _{n}}{d_{n}}}(t_{n}-t_{n+1})}$.

Pro celkový rozdíl teplot pak dostáváme

${\displaystyle t_{1}-t_{n+1}=(t_{1}-t_{2})+(t_{2}-t_{3})+\cdots +(t_{n}-t_{n+1})=q{\frac {d_{1}}{\lambda _{1}}}+q{\frac {d_{2}}{\lambda _{2}}}+\cdots +q{\frac {d_{n}}{\lambda _{n}}}=q\sum _{i=1}^{n}{\frac {d_{i}}{\lambda _{i}}}}$.

Hustotu tepelného toku takovou deskou lze tedy vyjádřit vztahem

${\displaystyle q={\frac {t_{1}-t_{n+1}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {d_{i}}{\lambda _{i}}}}}}$.

Podíl ${\displaystyle {\frac {d_{i}}{\lambda _{i}}}}$ se nazývá tepelný odpor vrstvy.

Při neustáleném vedení tepla dochází ke změně teplot v jednotlivých částech tělesa.

Uvažujme případ vedení tepla deskou, které nastane při náhlém zvýšení teploty na jednom z povrchů desky. Pokud desku rozdělíme na vrstvy o tloušťce ${\displaystyle \Delta x}$, nebude hustota tepelného toku ve všech vrstvách stejná jako při ustáleném vedení tepla. Důvodem je to, že část tepla, které do vrstvy vstoupí, se spotřebuje na ohřátí vrstvy. O tuto část tepla je pak tok v následující vrstvě ochuzen.

Nechť tedy do vrstvy o tloušťce ${\displaystyle \Delta x}$ a ploše ${\displaystyle S}$ vstoupí za čas ${\displaystyle \Delta \tau }$ teplo ${\displaystyle Q_{1}=q_{1}S\Delta \tau }$ a ze stejné vrstvy vystoupí za stejný čas teplo ${\displaystyle Q_{2}=q_{2}S\Delta \tau }$, kde ${\displaystyle q_{1}}$ a ${\displaystyle q_{2}}$ jsou hustoty tepelného toku na vstupní a výstupní ploše. Platí tedy

${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}=(q_{1}-q_{2})S\Delta \tau =-\Delta qS\Delta \tau }$.

Uvažujme, že vrstva má měrnou tepelnou kapacitu ${\displaystyle c}$, hustotu ${\displaystyle \rho }$, hmotnost ${\displaystyle \Delta m=\rho S\Delta x}$ a střední teplotu ${\displaystyle t}$. Přírůstek střední teploty vrstvy za čas ${\displaystyle \Delta \tau }$ označme ${\displaystyle \Delta t}$. Tento přírůstek odpovídá rozdílu tepel ${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}}$, a to prostřednictvím vztahu

${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}=c\Delta m\Delta t}$.

Vyloučením ${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}}$ z předchozích vztahů a dosazením za ${\displaystyle \Delta m}$ dostaneme

${\displaystyle -\Delta q\Delta \tau =c\rho \Delta x\Delta t}$

a po úpravě

${\displaystyle {\frac {\Delta t}{\Delta \tau }}=-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\Delta q}{\Delta x}}}$.

Přechodem k limitě pro ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ a ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$ dostaneme

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial \tau }}=-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}}$.

Derivací jednorozměrného Fourierova zákona ${\displaystyle q=-\lambda {\frac {\partial t}{\partial x}}}$ podle ${\displaystyle x}$ získáme ${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial x}}=-\lambda {\frac {\partial ^{2}t}{\partial x^{2}}}}$ a po dosazení tohoto vztahu do předchozího dostaneme jednorozměrnou diferenciální rovnici vedení tepla

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial \tau }}={\frac {\lambda }{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}t}{\partial x^{2}}}}$.

Tuto rovnici lze jednoduše zobecnit na vícerozměrný případ

${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial \tau }}-{\frac {\lambda }{c\rho }}\nabla ^{2}t=0}$.

Fundamentální řešení rovnice vedení tepla v ${\displaystyle n}$-rozměrném případě je

${\displaystyle \Phi (x,\tau )={\frac {\chi _{[0,\infty )}\left(\tau \right)}{\left(4\pi \tau \right)^{n/2}}}e^{-{\frac {\left|x\right|^{2}}{4a\tau }}}}$.

Matematická formulace nestacionárního vedení tepla umožňuje obecné vyjádření diferenciální rovnice vedení tepla. Jedná se o pravděpodobně nejznámější příklad parciální diferenciální rovnice parabolického typu, která je označovaná jako rovnice vedení tepla. V obecném vyjádření se zapisuje jako

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}+f(x_{1},x_{2},...,x_{n},t)}$.

Tato nehomogenní rovnice je pojmenována podle toho, že popisuje vedení tepla v ${\displaystyle n}$-rozměrném prostoru s časem ${\displaystyle t}$.

Ve speciálním případě pro ${\displaystyle n=3}$ dostaneme

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+f(x,y,z,t)}$.

Pokud v rovnici vedení tepla platí ${\displaystyle f=0}$, pak dostaneme homogenní rovnici vedení tepla

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}}$.

Z fyzikálního hlediska se jedná o případ, kdy se ve vyšetřované oblasti nenacházejí žádné zdroje tepla.

Pro vedení tepla je běžně nutné látkové prostředí, protože z hlediska kinetické teorie se jedná o přenos kinetické energie jeho částic. Ukazuje se však, že díky kvantovým jevům je možné na krátkých vzdálenostech (až stovky nanometrů) vést teplo i vakuem, tedy bez fyzického média.

Kvantově se vedení tepla popisuje jako přenos kvazičástic vibrační energie, fononů. Obdoba Casimirova jevu zvaná Casimirova interakce spočívá v přenosu fononů fluktuacemi vakua. Tento dávno předpovězený jev byl experimentálně prokázán v r. 2019 přenosem tepla mezi dvěma extrémně tenkými membránami z pozlaceného nitridu křemíku umístěnými vedle sebe ve vakuové komoře. Přitom bylo spolehlivě vyloučeno, že by přenos tepla mohl probíhat sáláním; vyzařování prostřednictvím fotonů zde bylo zanedbatelné.[1][2][3][4]

Fonony také přenášejí zvuk, takže do jisté míry lze dokonce prohlásit, že vakuem se může šířit na velmi krátkou vzdálenost rovněž zvuk.[3][4]

• Termika
• Šíření tepla
• Proudění tepla
• Tepelné záření
• Výkonové veličiny
• Výkon#Teorie systémů

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vedení tepla na Wikimedia Commons