Sylowovy věty

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele $p$ řádu grupy $G$ existenci podgrup složených z prvků řádu $p$ a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

Sylowova p-podgrupa

Sylowovou $p$ -podgrupou grupy $G$ , kde $p$ je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou $H$ ≤ $G$ , že každý prvek $H$ má řád mocniny $p$ a $H$ je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových $p$ -podgrup grupy $G$ se značí $Syl_{p}(G)$ .

Znění vět

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

První Sylowova věta

Nechť $G$ je konečná grupa a $p$ prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy $p$ -podgrupy $G$ jsou konjugovány (pro $P,Q$ ∈ $Syl_{p}(G)$ existuje $g$ ∈ $G$ , že $P=gQg^{-1}$ ) a jejich počet je $kp+1$ pro nějaké $0$ ≤ $k$ (tj. $|Syl_{p}(G)|$ ≡ $1$ $(mod$ $p)$ ).

Důsledky

Všechny Sylowovy $p$ -podgrupy $G$ jsou izomorfní.
Konečná grupa $G$ obsahuje prvek řádu $p$ pro každé prvočíslo $p$ , které dělí řád $G$ .
Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny $p$ .

Druhá Sylowova věta

Nechť $G$ je konečná grupa řádu $n=p^{a}s$ ,kde $p$ je prvočíslo, které nedělí $s$ a $a>0$ . Pak všechny Sylowovy $p$ -podgrupy $G$ mají řád $p^{a}$ .

Třetí Sylowova věta

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že $p^{k+1}$ dělí řád $G$ . Nechť dále $H$ je podgrupa $G$ ( $H$ ≤ $G$ ) řádu $p^{k}$ . Pak existuje grupa $K$ řádu $p^{k+1}$ splňující $H\triangleleft K\leq G$ (tj. $H$ je normální v $K$ ).

Odkazy

Související články

Lagrangeova věta

Literatura

DRÁPAL, Aleš. Teorie grup – základní aspekty. Praha: Karolinum, 2000. ISBN 80-246-0162-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.