Model (logika)

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly ${\displaystyle c_{\alpha };\alpha \in I_{K}}$, funkční symboly ${\displaystyle \,f_{\alpha }}$ četností ${\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{F}}$ a predikátové symboly ${\displaystyle \,p_{\alpha }}$ četností ${\displaystyle n_{\alpha };\alpha \in I_{P}}$, je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami ${\displaystyle C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}}$, funkcemi ${\displaystyle F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}}$ a relacemi ${\displaystyle P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}}$. Konstanta ${\displaystyle \,C_{\alpha }}$, resp. funkce ${\displaystyle \,F_{\alpha }}$, resp. relace ${\displaystyle \,P_{\alpha }}$ se nazývá realizací konstantního symbolu ${\displaystyle \,c_{\alpha }}$, resp. funkčního symbolu ${\displaystyle \,f_{\alpha }}$, resp. predikátového symbolu ${\displaystyle \,p_{\alpha }}$ v modelu A a značí se ${\displaystyle \,c_{\alpha }^{A}}$, resp. ${\displaystyle \,f_{\alpha }^{A}}$, resp. ${\displaystyle \,p_{\alpha }^{A}}$. Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu A (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

V tomto odstavci značí ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).

Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme ${\displaystyle \,t^{A}<e>}$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• ${\displaystyle \,t^{A}<e>=e(x)}$, je-li t proměnná x
• ${\displaystyle \,t^{A}<e>=c_{\alpha }^{A}}$, je-li t konstantní symbol ${\displaystyle \,c_{\alpha }}$
• ${\displaystyle t^{A}<e>=F_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)}$, je-li ${\displaystyle t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}$ a ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}}$ jsou termy

Platnost formule ${\displaystyle \,\varphi }$ jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ definujeme indukcí dle složitosti takto (${\displaystyle \,\varphi }$ platí v ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ při ohodnocení e značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$, ${\displaystyle \,\varphi }$ neplatí v ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ při ohodnocení e značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \varphi <e>}$):

• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ atomická formule tvaru ${\displaystyle p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})}$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$, pokud ${\displaystyle (t_{0}^{A}<e>,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}<e>)\in P_{\alpha }^{A}}$.
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ atomická formule tvaru ${\displaystyle \,t_{0}=t_{1}}$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$, pokud ${\displaystyle t_{0}^{A}<e>=t_{1}^{A}<e>}$.
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ formule tvaru ${\displaystyle \neg \psi }$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$ pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \psi <e>}$
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ formule tvaru ${\displaystyle \psi \Rightarrow \chi }$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$ pokud buďto ${\displaystyle {\mathcal {A}}\not \models \psi <e>}$ nebo ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \chi <e>}$.
• Je-li ${\displaystyle \,\varphi }$ formule tvaru ${\displaystyle (\forall x)\psi }$, pak ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$, pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \psi <e(x/a)>}$ pro všechna ${\displaystyle a\in A}$.

Říkáme, že ${\displaystyle \,\varphi }$ platí v modelu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$, pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi <e>}$ pro každé ohodnocení proměnných e.

Je-li T teorie v jazyce L a ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je modelem T, značíme ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models T}$, pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$ pro každý axiom ${\displaystyle \,\varphi }$ teorie T.