Tři domy a tři studně

Jsou dány tři domy a tři studně. Lze od každého z domů vést cestičku ke každé studni, aniž by se tyto cestičky zkřížily?

Z hlediska teorie grafů lze úlohu přeformulovat na otázku, zde je úplný bipartitní graf ${\displaystyle K_{3,3}}$ rovinným grafem.

Neumožňuje-li zadání nějaký trik a jedná-li se tedy o výše vyslovený problém existence rovinného nakreslení v rámci teorie grafů, je odpověď záporná (takové propojení neexistuje), neboť v rámci teorie grafů říká Kuratowského věta, že obsahuje-li graf jako podgraf právě ${\displaystyle K_{3,3}}$, není rovinným.

Řešení na ploše toru

Pokud by zadání nevyžadovalo kreslit graf do roviny, ale na libovolnou plochu, je možné realizovat propojení bez křížení na povrchu toru (neboť ${\displaystyle K_{3,3}}$ je toroidní graf).

V zadání s inženýrskými sítěmi lze realizovat trik, kdy se sice sítě nekříží mimo domky, ale v rámci jednoho domku jsou sítě přivedeny jen k vnějším zdem a jedna ze sítí tak může projít na své cestě do cílového domku skrz jeden z jiných domků, přičemž sítě nekříží (úloha pak ovšem neodpovídá té z teorie grafů).[4]

Nakreslení s jediným křížením

Zadání může být formulováno také jako otázka, jaký je minimální nutný počet křížení. V tom případě je odpověď 1, neboť stačí jediné křížení.