Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stone-Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu $[0,1]$ staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně $n$ je definováno vztahem

b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.

kde ${n \choose \nu }$ je binomický koeficient.

Bernsteinovy bázové polynomy stupně $n$ tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně $n$ .
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně $n$ . Koeficienty $\beta _{\nu }$ jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Vlastnosti

Rozklad jednotky

Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu $<0;1>$ .

\sum _{i=0}^{n}{b_{i,n}(x)}=1

Symetrie

V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.

b_{i,n}(x)=b_{n-i,n}(1-x)

Důkaz:

b_{n-i,n}(1-x)={n \choose n-i}(1-x)^{n-i}(1-(1-x))^{n-(n-i)}

Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:

{n \choose i}={n \choose n-i}

Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:

b_{n-i,n}(1-x)={n \choose n-i}(1-x)^{n-i}(1-(1-x))^{n-(n-i)}={n \choose i}(1-x)^{n-i}(x)^{i}=b_{i,n}(x)

Rekurence

Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.

b_{i,n}(x)=(1-x)b_{i,n-1}(x)+tb_{i-1,n-1}(x)

Derivace

b_{i,n}(x)'=n(b_{i-1,n-1}(x)-b{i,n-1}(x))

Lokální maximum

Na intervalu $<0;1>$ je maximum v bodě $x={\frac {i}{n}}$ .

Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci:

b_{i,n}(x)'={n \choose i}x^{i-1}(1-x)^{n-i-1}[i(1-x)-x(n-i)]

Nyní můžeme nahlédnout, že pro body $x=0,1$ nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.

i(1-x)-x(n-i)=0

i-ix-xn+ix=0

xn=i

x={\frac {i}{n}}

Že tento bod leží na intervalu $<0;1>$ vyplývá z nerovnosti $0\leq i\leq n$ .

Příklad

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:

b_{0,0}(x)=1\,

b_{0,1}(x)=1-x\,

b_{1,1}(x)=x\,

b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}\,

b_{1,2}(x)=2x(1-x)\,

b_{2,2}(x)=x^{2}\ .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernsteinův polynom na Wikimedia Commons

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.