Planckova hmotnost

Vzorec pro Planckovu hmotnost lze odvodit pomocí rozměrové analýzy. V tomto přístupu se začíná se třemi fyzikálními konstantami ħ, c, G, které se pokusíme kombinovat, aby daly jednotku hmotnosti. Očekávaný vzorec je ve tvaru

${\displaystyle m_{\text{P}}=c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}},}$

kde ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$ jsou konstanty určující odpovídající rozměry obou stran. Pomocí symbolu L pro délku, T čas, M hmotnost, a zapsání x pro rozměry některé fyzikální veličiny x, získáme následující:

${\displaystyle c=L/T\ }$

${\displaystyle G=L^{3}/MT^{2}}$

${\displaystyle \hbar =ML^{2}/T\ }$.

Proto,

${\displaystyle [c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}}]={\mathsf {M}}^{-n_{2}+n_{3}}{\mathsf {L}}^{n_{1}+3n_{2}+2n_{3}}{\mathsf {T}}^{-n_{1}-2n_{2}-n_{3}}}$

Chceme-li určit dimenze hmotnosti, následující rovnice musí mít:

${\displaystyle n_{3}-n_{2}=1\ }$

${\displaystyle n_{1}+3n_{2}+2n_{3}=0\ }$

${\displaystyle -n_{1}-2n_{2}-n_{3}=0\ }$.

Řešení tohoto systému je:

${\displaystyle n_{1}=1/2,n_{2}=-1/2,n_{3}=1/2.\ }$

To znamená, že Planckova hmotnost je:

${\displaystyle m_{\text{P}}=c^{1/2}G^{-1/2}\hbar ^{1/2}={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}.}$

Ekvivalentně je Planckova hmotnost definována tak, že gravitační potenciální energie mezi dvěma hmotnostmi m_P vzdálenými od sebe r je rovna energii fotonu (nebo gravitonu) úhlové vlnové délky r, nebo že se jejich poměr rovná jedné.

${\displaystyle E={\frac {Gm_{\text{P}}^{2}}{r}}={\frac {\hbar c}{r}}.}$

Izolací m_P dostaneme

${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$

Je důležité všimnout si, že pokud je místo Planckovy hmotnosti použita hmotnost elektronu rovnice by vyžadovala gravitační vazební konstantu, analogicky k tomu, jak se rovnice konstanty jemné struktury týká elementárního náboje a Planckova náboje. To znamená, že Planckova hmotnost může být vnímána jako vyplývající z absorbující gravitační vazebné konstanty na jednotku hmotnosti (a vzdálenosti/času), podobně jako Planckův náboj pro konstantu jemné struktury.

Planckova hmotnost může být odvozena přibližně jako stav hmoty jejíž Comptonova vlnová délka a Schwarzschildův poloměr se rovnají.[3] Comptonova vlnová délka je délka měřítka, kde začnou být pro částice důležité kvantové efekty. Čím těžší částice, tím menší je Comptonova vlnová délka. Schwarzschildův poloměr je poloměr, na kterém by se pro danou hmotnost nacházel horizont událostí, pokud by byla daná hmota černou dírou; čím těžší částice, tím větší Schwarzschildův poloměr. Pokud by částice byla dostatečně hmotná, aby byly její Comptonova vlnová délka a Schwarzschildův poloměr přibližně stejné, její dynamika by byla silně ovlivněna kvantovou gravitací. Tato hmotnost je (přibližně) rovna Planckově hmotnosti.

Comptonova vlnová délka je

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{mc}}}$

a Schwarzschildův poloměr je

${\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Nastavení je stejné:

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {hc}{2G}}}={\sqrt {\frac {\pi c\hbar }{G}}}}$

To není tak docela Planckova hmotnost, jde o faktor o ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ větší. Toto heuristické odvození nicméně dává správný řád.