Schwarzschildův poloměr

Gravitační časová dilatace v blízkosti velkého, pomalu rotujícího, téměř kulového tělesa, jako je například Země nebo Slunce může být aproximována použitím Schwarzschildova poloměru následovně:

${\displaystyle {\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}}$

kde:

${\displaystyle t_{r}\!}$ je uplynulý čas pro pozorovatele na souřadnici "r" uvnitř gravitačního pole;

${\displaystyle t\!}$ je uplynulý čas pro pozorovatele vzdáleného od masivního objektu (a tudíž vně gravitačního pole);

${\displaystyle r\!}$ je vzdálenost pozorovatele (analogicky: klasická vzdálenost od středu objektu);

${\displaystyle r_{s}\!}$ je Schwarzschildův poloměr.

Výsledek Pound, Rebka experimentu v roce 1959 byl souhlasný s předpovědí obecné teorie relativity. Tento experiment změřením gravitační časové dilatace Země, nepřímo měří Schwarzschildův poloměr Země.

V Newtonovském gravitačním poli blízko velkého, pomalu rotujícího, téměř kulového tělesa můžeme Schwarzschildův poloměr použít následovně:

${\displaystyle {\frac {g}{r_{s}}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

kde:

${\displaystyle g\ }$ je gravitační zrychlení v bodě ${\displaystyle r}$;

${\displaystyle r_{s}\ }$ je Schwarzschildův poloměr gravitace tělesa;

${\displaystyle r\ }$ je poloměr;

${\displaystyle c\ }$ je rychlost světla ve vakuu.

Na povrchu Země:

${\displaystyle {\frac {9.80665\ \mathrm {m/s} ^{2}}{8.870056\ \mathrm {mm} }}\left({\frac {6375416\ \mathrm {m} }{299792458\ \mathrm {m/s} }}\right)^{2}=\left(1105.59\ \mathrm {s} ^{-2}\right)\left(0.0212661\ \mathrm {s} \right)^{2}={\frac {1}{2}}.}$

Pro všechny kruhové dráhy v blízkosti centrálního tělesa:

${\displaystyle {\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

kde:

${\displaystyle r\!}$ je poloměr oběžné dráhy;

${\displaystyle r_{s}\!}$ je Schwarzschildův poloměr gravitace centrálního tělesa;

${\displaystyle v\!}$ je kruhová rychlost;

${\displaystyle c\!}$ je rychlost světla ve vakuu.

Tato rovnost může být zobecněna do eliptické dráhy podle:

${\displaystyle {\frac {a}{r_{s}}}\left({\frac {2\pi a}{cT}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

kde:

${\displaystyle a\!}$ je nejdelší poloměr elipsy (velká poloosa);

${\displaystyle T\!}$ je doba oběhu.

Pro Zemi obíhající Slunce platí:

${\displaystyle {\frac {1\,\mathrm {AU} }{2953.25\,\mathrm {m} }}\left({\frac {2\pi \,\mathrm {AU} }{\mathrm {light\,year} }}\right)^{2}=\left(50655379.7\right)\left(9.8714403\times 10^{-9}\right)={\frac {1}{2}}.}$

Keplerovské rovnice pro kruhové oběžné dráhy mohou být zjednodušeny do relativistických rovnic pro kruhové dráhy s odpočtem pro časovou dilataci v rychlostním výrazu::

${\displaystyle {\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left({\frac {r}{r_{s}}}-1\right)={\frac {1}{2}}.}$

Konečná rovnice ukazuje, že objekt obíhající rychlostí světla bude mít poloměr oběžné dráhy 1,5krát Schwarzschildův poloměr. Tato speciální oběžná dráha je známá jako sféra fotonů.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Schwarzschild radius na anglické Wikipedii.

• Slovníkové heslo Schwarzschildův poloměr ve Wikislovníku