Osmiúhelník

Na pravidelný osmiúhelník lze například nahlížet jako by byl složen z osmi shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost ${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$ a při vrcholu ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$. Jde tedy o příklad středové souměrnosti.

Pro pravidelný osmiúhelník lze definovat tyto pojmy:

• střed symetrie osmiúhelníka: S
• vrcholy, po obvodu: V₁ .. V₈
• délka strany: a jako přímá vzdálenost dvou sousedních vrcholů
• středy stran, po obvodu: A₁ .. A₈

Pravidelný osmiúhelník lze rozdělit

• na 8 stejných rovnoramenných trojúhelníků T o stranách R-R-a, mezi body V_nSV_n+1,
  • jeho vrcholový úhel u bodu S je z definice právě osmina kruhu, tedy ${\displaystyle \pi /4}$ = 45°.
• nebo na 16 stejných pravoúhlých trojúhelníků t o stranách R-r-a/2, mezi body A_nSV_n,
  • se středovým úhlem ${\displaystyle \pi /8}$ = 22,5°.

Tím je určena vazba na Pythagorovu větu:

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+(a/2)^{2}}}}$.

Navíc s vědomostí, že i goniometrické výrazy úhlu lze vyjádřit přesně:

${\displaystyle cotg(22,5^{\circ })=1+{\sqrt {2}}}$.

Obsah pravidelného osmiúhelníku (v obrázku označený A) může být určen ořezáním čtverce (v obrázku jeho celková strana označena S).

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit poloměr

• kružnice opsané R, který je definován délkou úsečky SV od středu k vrcholu:

${\displaystyle a=2R\cdot sin(22,5^{\circ })}$.

• • tedy minimální ještě vnější průměr D, přibližně:

D≈2,61·a.

• kružnice vepsané r, který je definován délkou úsečky SA od středu ke straně, tedy jako výška trojúhelníka T, po jeho symetrále:

${\displaystyle r=a/2\cdot cotg(22,5^{\circ })=a/2\cdot (1+{\sqrt {2}})}$ nebo inverzně ${\displaystyle a/2=r\cdot tg(22,5^{\circ })=r/(1+{\sqrt {2}})}$.

• • tedy maximální ještě vnitřní průměr d, přibližně:

d≈2,41·a.

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit vlastnosti

• obvod: ${\displaystyle o=8\cdot a}$.
• obsah:
  • pomocí trojúhelníků z polárního dělení:

${\displaystyle S=4ar={\frac {8r^{2}}{(1+{\sqrt {2}})}}}$.

• • oříznutím z úplného čtverce:

${\displaystyle S=4r^{2}-a^{2}=(a{\sqrt {2}}+a+a{\sqrt {2}})^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}}$.

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku pomocí kružítka a pravítka v 18 krocích:

• Obrázky, zvuky či videa k tématu osmiúhelník na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo osmiúhelník ve Wikislovníku