Model (logika)
Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.
Definice
Model jazyka
Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly , funkční symboly četností a predikátové symboly četností , je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami , funkcemi a relacemi . Konstanta , resp. funkce , resp. relace se nazývá realizací konstantního symbolu , resp. funkčního symbolu , resp. predikátového symbolu v modelu A a značí se , resp. , resp. . Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí .
Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu A (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.
Tarského definice pravdy
V tomto odstavci značí model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).
Realizace termu
Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme , se definuje indukcí dle složitosti takto:
- , je-li t proměnná x
- , je-li t konstantní symbol
- , je-li a jsou termy
Platnost formule
Platnost formule jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu definujeme indukcí dle složitosti takto ( platí v při ohodnocení e značíme , neplatí v při ohodnocení e značíme ):
- Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud .
- Je-li atomická formule tvaru , pak , pokud .
- Je-li formule tvaru , pak pokud
- Je-li formule tvaru , pak pokud buďto nebo .
- Je-li formule tvaru , pak , pokud pro všechna .
Říkáme, že platí v modelu , značíme , pokud pro každé ohodnocení proměnných e.
Příklady
- Množina přirozených čísel spolu s konstantou , binární relací a funkcemi , a () tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
- Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.
Izomorfismus modelů
Izomorfismem modelů (struktur) téhož jazyka L je taková bijekce , která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:
- pro každý konstantní symbol c jazyka L
- pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
Existuje-li izomorfismus modelů , říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.
Související články
- Vnitřní model
- Teorie modelů
- Morleyova věta o kategoričnosti
- Vaughtova věta
- Löwenheim-Skolemova věta