Monotónní funkce
Funkce[Pozn 1] je monotónní v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru neklesající nebo nerostoucí.
Tato vlastnost bývá nazývána monotonnost, popř. monotonicita.
Funkce je ryze monotónní v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru rostoucí nebo klesající.
Konstantní funkce je podle této definice monotónní, ale není ryze monotónní.
Definice
Funkce definovaná na množině je na této množině (ostře, ryze) rostoucí právě tehdy, když pro každé dva body platí
Funkce definovaná na množině je na této množině (ostře, ryze) klesající právě tehdy, když pro každé dva body platí
Funkce definovaná na množině je na této množině neklesající právě tehdy, když pro každé dva body platí
Funkce definovaná na množině je na této množině nerostoucí právě tehdy, když pro každé dva body platí
Je zřejmé, že je-li funkce rostoucí, je neklesající a je-li funkce klesající, je nerostoucí.
Výše uvedené definice popisují globální monotonii.
Na obrázku vpravo je funkce rostoucí například v intervalu , klesající například v intervalu .
Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.
Monotonie lokální (v bodě):
Funkce je po řadě rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí v bodě , jestliže existuje nějaké okolí bodu , na kterém je funkce rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí. To je ekvivalentní s tím, že
Funkce je rostoucí, pokud pro všechna v tomto okolí platí:
- .
Obdobně je funkce klesající, pokud
- ,
nerostoucí pro
- ,
a neklesající pro
- .
Derivace monotónní funkce
Pokud funkce má v bodě derivaci , lze ji použít k vyšetření monotonie funkce, přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):
- Jestliže , pak je v bodě rostoucí.
- Jestliže , pak je v bodě klesající.
- Jestliže je v bodě neklesající, pak .
- Jestliže je v bodě nerostoucí, pak .
Terminologie
Někteří autoři používají termín rostoucí bez přívlastku pro funkce, které jsou ve výše uvedené definici nazývány neklesající a klesající pro funkce podle uvedené definice nerostoucí.
Odkazy
Poznámky
- Jde o reálnou funkci definovanou na množině všech reálných čísel nebo nějaké její podmnožině.