Monotónní funkce

Funkce[Pozn 1] je monotónní v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru neklesající nebo nerostoucí.

Příklad ryze monotónní (rostoucí) funkce

Tato vlastnost bývá nazývána monotonnost, popř. monotonicita.

Funkce je ryze monotónní v bodě, na určitém intervalu, množině nebo v celém svém definičním oboru, pokud je v daném bodě, na celém daném intervalu, množině, resp. definičním oboru rostoucí nebo klesající.

Konstantní funkce je podle této definice monotónní, ale není ryze monotónní.

Definice

Funkce definovaná na množině je na této množině (ostře, ryze) rostoucí právě tehdy, když pro každé dva body platí

Funkce definovaná na množině je na této množině (ostře, ryze) klesající právě tehdy, když pro každé dva body platí

Funkce definovaná na množině je na této množině neklesající právě tehdy, když pro každé dva body platí

Funkce definovaná na množině je na této množině nerostoucí právě tehdy, když pro každé dva body platí

Je zřejmé, že je-li funkce rostoucí, je neklesající a je-li funkce klesající, je nerostoucí.

Výše uvedené definice popisují globální monotonii.

Graf funkce, která na intervalu není monotónní, ale je monotónní na jeho určitých podintervalech; na intervalu a je rostoucí, na intervalu a je klesající.

Na obrázku vpravo je funkce rostoucí například v intervalu , klesající například v intervalu .

Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je po řadě rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí v bodě , jestliže existuje nějaké okolí bodu , na kterém je funkce rostoucí, klesající, neklesající resp. nerostoucí. To je ekvivalentní s tím, že
Funkce je rostoucí, pokud pro všechna v tomto okolí platí:

.

Obdobně je funkce klesající, pokud

,

nerostoucí pro

,

a neklesající pro

.

Derivace monotónní funkce

Pokud funkce má v bodě derivaci , lze ji použít k vyšetření monotonie funkce, přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

  • Jestliže , pak je v bodě rostoucí.
  • Jestliže , pak je v bodě klesající.
  • Jestliže je v bodě neklesající, pak .
  • Jestliže je v bodě nerostoucí, pak .

Terminologie

Někteří autoři používají termín rostoucí bez přívlastku pro funkce, které jsou ve výše uvedené definici nazývány neklesající a klesající pro funkce podle uvedené definice nerostoucí.

Odkazy

Poznámky

  1. Jde o reálnou funkci definovanou na množině všech reálných čísel nebo nějaké její podmnožině.

Související články

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.